Почему крутящий момент определяется как $r × F$, а не $F × r$? - физиков.нет
Купить гитару в Москве
2 голосов
/

Это просто из-за общепринятого соглашения или дает какие-то особые разъяснения относительно других физических величин?

Ответы [ 5 ]

3 голосов
/

Крутящий момент связан с угловым моментом ($L$) через $\tau=\frac{dL}{dt}$. Угловой момент, конечно, связан с угловой скоростью ($\omega$) через $L=I\omega$. Это означает, что если бы мы использовали $F\times r$, нам нужно было бы либо поставить знак минус в одном из этих определений, либо изменить направление угловой скорости. Никто не хочет ставить знак минус там, где он не нужен, поэтому мы можем игнорировать этот случай и сосредоточиться на идее угловой скорости в другом направлении.

Угловая скорость, конечно, $\omega = \frac{d\theta}{dt}$. Мы также не хотим, чтобы знак минус здесь, поэтому способ определения $\theta$ должен будет изменить направление.

И здесь это действительно произвольно. Математики определяют полярные координаты так, что положительная ось x отображается на $\theta = 0$, а положительная ось y отображается на $\theta=\frac{\pi}{2}$. Они могли бы выбрать другое соглашение, но это то, что действительно было выбрано. Насколько я понимаю, эта конвенция была выбрана индийскими астрономами около 2300 лет назад!

Единственный вариант, который я не перечислил здесь, это изменить значение перекрестного произведения. Кросс-продукт был изобретен в 1773 году Джозефом Луи Лагранжем для изучения тетраэдров. Я не могу найти дальнейшие ссылки, так что это может быть, где было принято произвольное решение.

1 голос
/

Несколько вещей, чтобы рассмотреть в первую очередь.

  1. Зависит от определения $\boldsymbol{r}$. Если $\boldsymbol{r}$ указывает на силу, то момент равен $\boldsymbol{r} \times \boldsymbol{F}$, но если он указывает на точку измерения (например, начало координат), то это $\boldsymbol{F} \times \boldsymbol{r}$.

  2. В операторе $\times$ существует соглашение. Это связано с правилом правой руки и тем фактом, что оно не имеет коммутативного свойства. Это означает, что $\boldsymbol{r} \times \boldsymbol{F} = -(\boldsymbol{F} \times \boldsymbol{r}) = (-\boldsymbol{F}) \times \boldsymbol{r} = \boldsymbol{F} \times (-\boldsymbol{r})$. Это означает, что крутящий момент можно интерпретировать как момент силы, действующей на линии, далекой от начала, и имеет значение порядок, в котором вы берете векторное произведение.

  3. Существует определенная симметрия между крутящим моментом, угловым моментом и линейной скоростью

    $$ \begin{aligned} \boldsymbol{v}_A & = \boldsymbol{v}_B + \boldsymbol{r}_{AB} \times \boldsymbol{\omega} & & \text{velocity transformation} \\ \boldsymbol{L}_A & = \boldsymbol{L}_B + \boldsymbol{r}_{AB} \times \boldsymbol{p}& & \text{momentum transformation} \\ \boldsymbol{M}_A & = \boldsymbol{M}_B + \boldsymbol{r}_{AB} \times \boldsymbol{F}& & \text{torque transformation} \end{aligned} $$

    В сочетании с двумя другими пунктами выше, это говорит о геометрии рассматриваемой проблемы, так как все величины (вращение $\boldsymbol{\omega}$), (импульс $\boldsymbol{p}$) и (сила $\boldsymbol{F}$) существуют на линия в пространстве. Он называется осью вращения, осью перкуссии и линией действия (соответственно).

    Также см. этот ответ на очень похожий вопрос.

Таким образом, чтобы математика работала, а физика была согласованной, перекрестное произведение должно быть определено либо с правым, либо с левым правилом, а также с уравнениями для крутящего момента, углового момента и линейной скорости быть последовательно описанным с выбранными руками. Наконец, убедитесь, что ваши векторы местоположения $\boldsymbol{r}$ определены последовательно (например, исходящие из общей точки, начала координат).

0 голосов
/

Это произвольное соглашение. Если бы мы изменили соглашение, есть и другие, которые мы должны были бы изменить, например $\textbf{L}=\textbf{r}\times\textbf{p}$ для момента импульса частицы.

0 голосов
/

Может быть, мы можем сделать быстрое сравнение обоих.

Давайте определим крутящий момент $\boldsymbol M = \boldsymbol r \times \boldsymbol F$. Далее рассмотрим $\boldsymbol r$ и $\boldsymbol F$, лежащие в плоскости и $\boldsymbol M$ обращенные вверх. Абсолютное значение $\boldsymbol M$ становится $M=r\cdot F\cdot \sin\theta$ с $r=|\boldsymbol r|$, $F=|\boldsymbol F|$, $M=|\boldsymbol M|$ и $\theta$ углом между $\boldsymbol r$ и $\boldsymbol F$. Теперь мы используем $\boldsymbol M = \boldsymbol r \times \boldsymbol F = -\boldsymbol r \times \boldsymbol F$ и понимаем, что $M$ остается без изменений.

Давайте теперь определим крутящий момент как $\boldsymbol M = \boldsymbol F \times \boldsymbol r$. Снова $\boldsymbol M$ направлен вверх от самолета. И снова, $M$ имеет то же значение, что и раньше.

Что мы узнаем из этого? Порядок не имеет значения. Это просто соглашение. Если вы хотите использовать другое соглашение, не стесняйтесь делать это, но убедитесь, что оно соответствует!

0 голосов
/

Я не знаю правильного объяснения, но я думаю, что $\boldsymbol{r}\times \boldsymbol{F}$ означает, что вектор $\boldsymbol{r}$ вращается из-за вектора $\boldsymbol{F}$. Чтобы получить тот же результат, что винт выходит, когда мы прикладываем силу. Это направление крутящего момента, тогда как $\boldsymbol{F}\times \boldsymbol{r}$ будет означать, что вектор $\boldsymbol{F}$ вращается из-за вектора $\boldsymbol{r}$, который будет противоположным к которому винт выходит (вниз).

Добро пожаловать на сайт физиков.нет, где вы можете задавать вопросы и получать ответы от других членов сообщества.
...