Необратимо / нет подробного баланса означает, что нет теплового равновесия? - физиков.нет
Винтажный Клуб для гитаристов
3 голосов
/

Рассмотрим следующую матрицу переходов

$$ T= \left[ {\begin{array}{cccc} \frac{1}{3} & \frac{1}{4} & \frac{1}{5} & \frac{1}{6}\\ \frac{1}{3} & \frac{1}{4} & \frac{1}{5} & \frac{2}{6}\\ \frac{1}{3} & \frac{1}{4} & \frac{3}{5}& 0\\ 0 & \frac{1}{4} & 0& \frac{3}{6}\\ \end{array} } \right] $$

марковского цепного процесса $$P_{t+1}=TP_t$$

Стационарное состояние задается

$$ P^*=\frac{1}{137} \left[ {\begin{array}{c} 33 \\ 36 \\ 50 \\ 18 \\ \end{array} } \right] $$

Детальное условие баланса подразумевает, что $$\sum_i T_{ij}P_i^*=\sum_j T_{ji}P_j^*$$

так как, например, $T_{24}P^*_2\neq T_{42}P_4^*$, цепной процесс не удовлетворяет условию подробного баланса.

Я хочу понять, находится ли система в тепловом равновесии. Очевидно, что система необратима, поскольку нет подробного баланса, но является ли это достаточным условием?

Может ли система быть необратимой и находиться в тепловом равновесии?

Если это так, каково математическое условие, которое должно быть выполнено, чтобы быть в тепловом равновесии?

1 Ответ

2 голосов
/

Согласно записи в Википедии о подробном балансе:

Детальное условие баланса сильнее, чем требуется только для стационарного распределения; то есть существуют марковские процессы со стационарными распределениями, которые не имеют подробного баланса. Детальный баланс подразумевает, что вокруг любого замкнутого цикла состояний нет чистого потока вероятности. Например, это означает, что для всех a, b и c $$P(a,b)P(b,c)P(c,a)=P(a,c)P(c,b)P(b,a)$$

Если вы возитесь с вашей системой, вы увидите, что это не относится к замкнутым циклам между состояниями 1, 2 и 4 и замкнутым циклам, включающим все четыре состояния. Следовательно, мы имеем равновесное распределение без подробного баланса.

Это не моя область знаний, но все, что мы имеем здесь, это то, что распределения вероятностей приближаются к «равновесному значению», но я не уверен, обязательно ли это означает, что сама система должна находиться в термодинамическом равновесии. С первой страницы на этом сайте https://www.stat.auckland.ac.nz/~fewster/325/notes/ch9.pdf

Примечание. Равновесие не означает, что значение $X_{t+1}$ равно значению $X_t$ , Это означает, что распределение $X_{t+1}$ совпадает с распределением $X_t$

Я представляю круговую водную гладь, где в центре равномерный водоворот. Даже если у нас есть равновесное распределение вероятностей того, где будет находиться молекула воды, сама система не находится в равновесии. Это не идеальный способ посмотреть на это (как указано в комментариях), поскольку иногда система может не сходиться к равновесному распределению, но я все же думаю, что это хорошая картина здесь.

Добро пожаловать на сайт физиков.нет, где вы можете задавать вопросы и получать ответы от других членов сообщества.
...