Понимание условной энтропии между двумя физическими состояниями - физиков.нет
Винтажный Клуб для гитаристов
1 голос
/

с бумаги: https://arxiv.org/abs/1303.4686

Рассмотрим ансамбль из N одинаковых квантовых систем с гамильтонианом H и матрицей плотности. $$\rho^{(N)}$$, который является диагональю в собственной энергии и имеет $\rho^{(N)} = \mathrm{diag}\{P_1,P_2,P_3,...\}$ значений, которые составляют 1.

Теперь рассмотрим соответствующее тепловое состояние $\tau^{(N)}(\beta)$ с той же энтропией фон Неймана, что

$$S(\rho^{(N)}) = S(\tau^{(N)}(\beta))$$

Я могу рассчитать разницу энергии между двумя состояниями

$$\Delta E = \mathrm{Tr}(\rho^{(N)} H)- \mathrm{Tr}(\tau^{(N)}(\beta) H) = \mathrm{Tr}[(\rho^{(N)}-\tau^{(N)}(\beta)) H]\tag{1}$$

Но теперь статья, которую я читаю, утверждает, что это отличие энергии от уравнения. (1) может быть выражено как

$$\Delta E = \mathrm{Tr}[(\rho^{(N)}-\tau^{(N)}(\beta)) H] = T\cdot S(\rho^{(N)}\mid \mid\tau^{(N)}(\beta))$$

, где $S(\rho^{(N)}\mid \mid\tau^{(N)})$ - это условная энтропия . (Уравнение (11) в статье)

Единственная условная энтропия, которую я когда-либо знал, была связана с измерениями и результатами.

https://en.wikipedia.org/wiki/Conditional_entropy

Может быть, кто-то может просто концептуально объяснить мне, что означает $S(\rho^{(N)}\mid \mid\tau^{(N)})$? Тем более, что оба состояния должны иметь одинаковую энтропию, я запутался.

1 Ответ

2 голосов
/

Это не условная энтропия, это относительная энтропия - первая будет обозначаться $S(\rho|\tau)$ (т.е. только одна вертикальная черта ). Похоже, что авторы использовали неверное слово в своей статье.

Относительная энтропия определяется как $$ S(\rho\|\tau)=\mathrm{tr}[\rho(\log\rho-\log\tau)] $$

Теперь докажем указанное выше соотношение. (Я просто пишу $\rho$ и $\tau$, с $\tau=e^{-\beta H}/Z$ и $S(\rho)=S(\tau)$.)

У нас есть \begin{align*} S(\rho\|\tau) & = \mathrm{tr}[\rho\log\rho]-\mathrm{tr}[\rho\log\tau]\\ & = \mathrm{tr}[\tau\log\tau]-\mathrm{tr}[\rho\log\tau]\\ & = \mathrm{tr}[(\tau-\rho)\log\tau]\\ & = \mathrm{tr}[(\tau-\rho)(-\beta H-\log Z)]\\ & = \beta\mathrm{tr}[(\rho-\tau)H]\ , \end{align*} что является заявленным отношением. Здесь во второй строке я использовал это $\mathrm{tr}[\rho\log\rho]=S(\rho)=S(\tau)=\mathrm{tr}[\tau\log\tau]$, затем определение $\tau$ как тепловое состояние и, наконец, это $\mathrm{tr}[\rho-\tau]=0$, так что термин $\log Z$ выпадает.

Добро пожаловать на сайт физиков.нет, где вы можете задавать вопросы и получать ответы от других членов сообщества.
...