функция разбиения в кольцевом пространстве - физиков.нет
Винтажный Клуб для гитаристов
3 голосов
/

Я рассматриваю двумерную безмассовую теорию свободного бозона, описанную в кольце. т.е.

$$S=\int d^2r\sqrt{g}(\nabla{\phi})^2$$

Это CFT с c = 1. Обозначим внутренний радиус кольца как $a$, а внешний радиус - $b$. Все два граничных условия на двух окружностях являются Direclet: $$\phi(r=a)=\phi(r=b)=0$$ Я хочу знать, как следующая функция разбиения (интеграл пути) масштабируется с $a$ и $b$? $$Z(a,b)=\int_{\phi(a)=0}^{\phi(b)=0} D[\phi]e^{-S[\phi]}$$

Вот мой ответ:

Сначала сделайте масштабное преобразование, чтобы пересчитать два радиуса $(a,b)$ до $(1,\frac{b}{a})$. Поскольку это CFT, функция партиции должна быть инвариантной относительно этого преобразования вплоть до вклада аномалии. Однако аномалия пропорциональна интегралу геодезической кривизны $k$ двух границ. $$\int_{\partial} ds \sqrt{g} k$$ и этот интеграл пропорционален числу Эйлера кольца (поскольку объемный интеграл $\int d^2r \sqrt{g} R=0$), который равен нулю. Итак, мы имеем $$Z(a,b)=Z(1,\frac{b}{a})$$ Затем я заменяю внутреннюю границу оператором $O(0)$, вставленным в начало координат. $$Z(1,\frac{b}{a})=\int ^{\phi(r=\frac{b}{a})=0} D[\phi]e^{-S[\phi]}O(0)$$

Здесь я использовал соответствие между конформным граничным условием и граничным состоянием, а также соответствие состояния и оператора. Теперь LHS - это интеграл по пути в кольце с двумя границами, а RHS - это интеграл по пути на диске с внешней границей, а также оператор, вставленный в начало координат. Наконец, я применяю масштабное преобразование к RHS для повторного вызова от $\frac{b}{a}$ до $b$. Теперь интеграл по путям больше не является инвариантом. Запишите $O(0)$ как комбинацию операторов с четко определенной размерностью масштабирования: $$O(0)=\sum_if_iO_i(0)$$ Затем после изменения масштаба $O(0)$ становится $O(0)'=\sum_if_ia^{\Delta_i}O_i(0)$. Аномалия в это время пропорциональна номеру линейки диска, умноженному на центральный заряд. Объединяя эти два эффекта, мы должны иметь

$$Z(a,b)=\int ^{\phi(r=\frac{b}{a})=0} D[\phi]e^{-S[\phi]}O(0)=a^{-\frac{1}{3}c}\int^{\phi(r=b)=0}D[\phi]e^{-S[\phi]}\sum_if_ia^{h_i}O_i(0)$$

Из этого выражения видно, что при $a\rightarrow 0$ в операторе $\sum_if_ia^{h_i}O_i(0)$ доминирует оператор с $h_i=0$ и его можно заменить на $f_II$. Проблема в том, что $a^{-\frac{1}{3}c}$, кажется, вызывает бесконечность в этом пределе. Кто-нибудь знает, в чем причина этого расхождения или где я ошибся в своих выводах?

Добро пожаловать на сайт физиков.нет, где вы можете задавать вопросы и получать ответы от других членов сообщества.
...