Когда термин Весса-Зумино четко определен? - физиков.нет
Винтажный Клуб для гитаристов
7 голосов
/

Согласно википедии, термин Весса-Зумино четко определен, когда группа Ли (целевое пространство) $G$ компактна и просто связна, потому что это означает, что $\pi_2(G)$ тривиально. Но есть группы Ли с тривиальными $\pi_2(G)$, которые не просто связаны (например, $S^1$). Является ли $S_\mathrm{WZ}(G)$ четко определенным в таком случае? Тривиальный $\pi_2(G)$ необходим и достаточен , или только необходим? Если этого недостаточно, то каково на $G$ достаточное условие, чтобы допустить модель WZW?

С другой стороны, кажется, что страница Википедии содержит несколько вводящих в заблуждение утверждений. Например, он говорит, что $\pi_2(G)$ тривиально, потому что $G$ просто связан; но, как упомянуто пользователем gj255 в разделе комментариев, $\pi_2(G)$ тривиально для любого $G$, просто подключенного или нет. Более того, в подразделе Топологические препятствия Википедия утверждает, что $kS_\mathrm{WZ}(G)$ четко определена, если $k\in\pi_3(G)$, поэтому кажется, что соответствующая гомотопическая группа является третьей вместо второй. Если это правильно, то я бы предположил, что $kS_\mathrm{WZ}(S^1)$ четко определено только на нулевом уровне (потому что $\pi_3(S^1)=\{0\}$), и поэтому для такого целевого пространства нет термина Весса-Зумино. Это правильно? В более общем смысле, $kS_\mathrm{WZ}(G)$ четко определено, если и только если $k\in\pi_3(G)\neq\{0\}$?

1 Ответ

2 голосов
/

Неправильно изучать гомотопические группы для классификации WZW-терминов, потому что нас интересует не только сферическое пространство-время.

Пусть $X$ - целевое пространство, а $M$ - произвольное замкнутое пространство-время $n$ -многообразие, снабженное картой $\sigma:M \to X$. Пусть $\omega$ будет закрытой $(n+1)$ -формой на $X$ с целочисленными периодами.

Если $\sigma$ является нулевым гомотопом, мы можем расширить его до конуса $\hat\sigma:CM \to X$, который определяется путем формирования призмы $M \times [0,1]$ и сворачивания одного конца в точку. Тогда мы можем определить $$WZW(M,\sigma) = \exp 2\pi i \int_{CM} \hat \sigma^*\omega.$$ А поскольку $\omega$ является замкнутым и имеет целочисленные периоды, можно показать, что это не зависит от расширения $\hat \sigma$.

Для этого определения очень важно, чтобы мы могли расширить $\sigma$ до конуса или, по крайней мере, до некоторой $n+1$ -цепи, граница которой равна $M$ (мы можем использовать теорию гомологий , цепи которой сингулярны коллекторы с углами , поэтому все равно имеет смысл формировать откат $\hat \sigma^*\omega$ везде, кроме набора нулей меры). Условие для этой более общей ситуации является гомологическим: нам нужно $\sigma_* [M] = 0 \in H_n(X,\mathbb{Z})$, где $[M]$ является фундаментальным классом $M$. Если $H_n(X,\mathbb{Z}) = 0$, то мы всегда находимся в бизнесе.

Обратите внимание, что недавно было проведено довольно интересное исследование топологических терминов сигма-модели, происходящих из кобордизма: https://arxiv.org/abs/1707.05448. Это объясняет, что происходит с тета-углом, который можно ожидать в теории 2 + 1D с $X = S^2$ от $\pi_3 S^2 = \mathbb{Z}$.

Добро пожаловать на сайт физиков.нет, где вы можете задавать вопросы и получать ответы от других членов сообщества.
...