Беспорядочная точка гамильтониана для частицы, взаимодействующей с электромагнитными полями - физиков.нет
Купить гитару в Москве
3 голосов
/

В нерелятивистской квантовой теории гамильтониан для частицы, взаимодействующей с электромагнитными полями, равен $$H=\frac{(\mathbf{p}-\mathbf{A}*e/c)^2}{2m}+e\phi+\int\,d^3x \frac{\mathbf{E^2}+\mathbf{B^2}}{8\pi}.\tag{1}$$

Согласно уравнениям гамильтониана, $$\dot{r_i}=\frac{\partial H}{\partial p_i}, \tag{2}$$ $$\dot{p_i}=-\frac{\partial H}{\partial r_i}.\tag{3}$$ Они, безусловно, не могут дать уравнения движения частицы, а также электромагнитные поля. Где я не прав? Каковы координаты и канонический импульс для полей?

Ответы [ 3 ]

2 голосов
/

I) Гамильтониан для точечных зарядов и электромагнитных полей, безусловно, может создавать как ЭОМ частиц, так и электромагнитные поля.

Полное объяснение довольно длинная история. По педагогическим причинам, чтобы увидеть, как это работает, лучше всего:

  1. Во-первых, поймите соответствующую лагранжеву формулировку.

  2. Во-вторых, понять, как гамильтоновы формулировки работают для точечных зарядов и электромагнитных полей отдельно, см., Например, это & это Phys.SE сообщений.

  3. В-третьих, попытайтесь построить гамильтонову формулировку для точечных зарядов и электромагнитных полей вместе.

II) Одна поправка: гамильтониан ОП (1) дает правильную полную энергию, но ОП спрашивает, как получить уравнения Максвелла. Для последней цели в гамильтониане ОП (1) отсутствует множитель Лагранжа, налагающий закон Гаусса.

III) Конкретно, минимальное фазовое пространство выглядит следующим образом:

  1. Положение частицы ${\bf r}(t)$ и импульс частицы ${\bf p}(t)$: $$\{r^k(t), p_{\ell}(t)\}= \delta_{\ell}^k.$$

  2. (минус $^1$) электрическое поле ${\bf E}(x)$ является канонической сопряженной переменной к потенциалу магнитного датчика ${\bf A}(x)$: $$\{A_i({\bf x},t), E^j({\bf x}^{\prime},t)\}~=~ -\delta_i^j~\delta^3({\bf x}\!-\!{\bf x}^{\prime}).$$

  3. множитель Лагранжа $A^0(x)\equiv \phi(x)$.

IV) Уравнения выглядят следующим образом:

  1. Магнитное поле ${\bf B}\equiv{\bf \nabla}\times {\bf A}$ определяется как скручивание потенциала магнитного датчика ${\bf A}$.

  2. Уравнения Гамильтона для ${\bf r}$ и ${\bf p}$ дают (i) 2-й закон Ньютона с силой Лоренца и (ii) соотношение между скоростью $\dot{\bf r}$ и импульсом ${\bf p}$.

  3. Уравнения Гамильтона для ${\bf A}$ и ${\bf E}$ дают (i) Закон Максвелла – Ампера и (ii) связь между электрическим полем ${\bf E}$ и калибровочным потенциалом $A_{\mu}$.

  4. Множитель Лагранжа $A^0\equiv\phi$ накладывает закон Гаусса.

  5. Уравнения Максвелла без источника следует из существования калибровочного потенциала $A_{\mu}$.

-

$^1$ Мы используем $(-,+,+,+)$ Соглашение о знаке Минковского с $c=1$.

1 голос
/

Обычно гамильтониан ЭДС должен быть записан в терминах $Q$ с и $P$ с электромагнитного поля, что осуществляется путем представления его через гармонические осцилляторы. Вы можете найти разложение ЭДС в набор гармонических осцилляторов во многих учебниках.

1 голос
/

Удалить второй член в гамильтониане в целом. В первом члене рассмотрим только поле других частиц.

Добро пожаловать на сайт физиков.нет, где вы можете задавать вопросы и получать ответы от других членов сообщества.
...