Стержень, вращающийся вокруг оси - физиков.нет
Винтажный Клуб для гитаристов
0 голосов
/

Длинный однородный стержень длиной L и массой M поворачивается вокруг горизонтального штифта без трения через один конец. Стержень отталкивается от покоя в вертикальном положении, как показано на рисунке. В момент, когда стержень находится в горизонтальном положении, найдите (а) его угловую скорость

Поскольку угловая скорость одинакова во всем жестком объекте, я не могу просто использовать уравнение сохранения энергии и решить для w? В моем учебнике есть пример, похожий на этот вопрос, но они нашли угловую скорость в центре масс. Почему они это сделали? Почему центр масс так часто используется во вращательном движении?

Ответы [ 4 ]

1 голос
/

Центр масс важен, потому что для стержня, когда он не находится в горизонтальном положении, каждая часть стержня находится на разной высоте и, следовательно, имеет различную потенциальную энергию. Однако мы можем рассматривать стержень так, как будто это точечная масса, расположенная в его центре масс, вращающемся вокруг оси.

Рассмотрим произвольный объект общей массы $M$ с распределением массы $\rho(\mathbf r)$. Потенциальная энергия бесконечно малого элемента массы объекта, расположенного в позиции $\mathbf r$, определяется выражением $$\text dU=g(y-y_0)\text dm=g(y-y_0)\rho(\mathbf r) \text dV$$ где $y$ - высота элемента бесконечно малой массы относительно $y_0$, где $U=0$. Следовательно, полная потенциальная энергия дается $$U=\iiint_Vg(y-y_0)\rho(\mathbf r) \text dV=Mg(y_{com}-y_0)$$

Итак, как вы можете видеть, нам нужно учитывать только высоту центра масс, чтобы определить потенциальную энергию всего стержня.

Это частный случай более общей идеи, согласно которой вблизи центра Земли мы можем рассматривать протяженное тело в однородном гравитационном поле так, как будто на него просто воздействует сила тяжести в его центре масс.

0 голосов
/

Вы были правы, когда указали, что угловая скорость относительно любой точки стержня может быть найдена по теореме рабочей энергии. Поскольку тело совершает чистое вращательное движение вокруг шарнирной точки, я бы посоветовал вам напрямую приравнять работу, проделанную в центре масс, к гравитации и энергии вращения стержня вокруг шарнира.

0 голосов
/

Да, сохранение энергии может быть использовано для решения вопроса. Начальная потенциальная гравитационная энергия будет равна сумме поступательной кинетической энергии и вращательной кинетической энергии.

Почему скорость центра масс?

Скорость центра масс обычно используется в механике вращения, потому что это средневзвешенная скорость всех точек. Скорость центра масс в среднем - это скорость всей системы.

0 голосов
/

Да, вы можете использовать сохранение энергии. Главное - убедиться, что вы используете правильный момент инерции кинетической энергии и правильное изменение потенциальной энергии.

Я не понимаю, почему вы задали второй вопрос. Вы правильно заявляете, что угловая скорость одинакова для всего твердого объекта, так почему бы не найти угловую скорость в центре масс.

Центр масс используется по нескольким причинам:

  • момент инерции (МВ) относительно центра масс (НЕ то, что вы хотите в этом случае) является наименьшим МВ для этого объекта. Если вы выберете другую точку для вращения в данной плоскости, МВД этой точки будет больше.
  • Если сила тяжести действует и создает крутящий момент, считается, что сила гравитации действует через центр масс при расчете крутящего момента.

РЕДАКТИРОВАТЬ: причина, по которой вы не должны использовать другие точки, потому что центр масс является эффективным средним местоположением массы. Если вы выбираете другое местоположение для расчета точки приложения силы веса на объекте, вы искажаете распределение массы объекта. В задачах вращения распределение масс является основным фактором.

Добро пожаловать на сайт физиков.нет, где вы можете задавать вопросы и получать ответы от других членов сообщества.
...