Функции, неограниченные в точке области: как показать, что электрическое поле существует для любой непрерывной объемной плотности заряда? - физиков.нет
Купить гитару в Москве
0 голосов
/

Мое понимание после прочтения ответа Майка Стоуна:

\begin{align} \vec{E} &= k \iiint_{V} \dfrac{\rho(x',y',z')[x-x'\hat{(i)}+y-y'\hat{(j)}+z-z'\hat{(k)}]}{[(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+(z-z')^{2}]^{3/2}}dx'dy'dz'\\ &= k \iiint_{V} \dfrac{\rho\ (\hat{r})}{r^2}dV\\ &=k \iiint_{V} \dfrac{\rho\ (\hat{r})}{r^2} r^2\ \sin\theta\ dr\ d\theta\ d\phi\\ &=k \iiint_{V} \rho\ (\hat{r}) \sin\theta\ dr\ d\theta\ d\phi\\ \end{align}

Теперь наша функция $\rho\ (\hat{r}) \sin\theta$.

$\hat{r}$ и $\theta$ не определены только в источнике. Поэтому наша функция $\rho\ (\hat{r}) \sin\theta$ не определена только в начале координат. Так что мы не можем напрямую интегрировать это. Следовательно, мы должны использовать предельный подход :

\begin{align} \vec{E} &= \lim_{\epsilon \rightarrow 0}\ k \left( \iiint_{V \setminus\ \text{sphere with radius $\epsilon$ centered at origin}} \rho\ (\hat{r}) \sin\theta\ dr\ d\theta\ d\phi \right)\\ &-\lim_{\epsilon \rightarrow 0}\ k \left(\iiint_{\text{over a sphere with radius $\epsilon$ centered at origin}} \rho\ (\hat{r}) \sin\theta\ dr\ d\theta\ d\phi \right) \end{align}

В первом слагаемом $\rho, \hat{r} \text{ and } \theta$ определяется и везде конечен. Поэтому интеграл в первом члене конечен.

Поскольку радиус сферы $(\epsilon)$ приближается к нулю, $\rho$ становится все более и более постоянным, а второй член приближается к нулю.

Таким образом:

\begin{align} \vec{E} = \lim_{\epsilon \rightarrow 0}\ k \left( \iiint_{V \setminus\ \text{sphere with radius $\epsilon$ centered at origin}} \rho\ (\hat{r}) \sin\theta\ dr\ d\theta\ d\phi \right)=\text{finite} \end{align}

Однако я не знаю, как действовать дальше, чтобы упростить этот термин .

1 Ответ

2 голосов
/

Элемент объема в 3d равен $dV= r^2dr d\Omega$, где $d\Omega= \sin\theta d\theta d\phi$ - угловая часть. Поместите начало вашей системы координат в точку, где вы хотите вычислить поле. Обратите внимание, что $r^2$ преодолевает расхождение $1/r^2$ в $\hat {\bf r}/|{|{\bf r}|^2}$ интегранте (здесь $\hat {\bf r}$ - единичный вектор). Следовательно, поле остается конечным, если плотность заряда остается конечной. Конечно, если есть точечные заряды, поле расходится, поэтому не работает любая плотность заряда.

Добро пожаловать на сайт физиков.нет, где вы можете задавать вопросы и получать ответы от других членов сообщества.
...