Собственные значения $\not{p}$ - физиков.нет
Винтажный Клуб для гитаристов
1 голос
/

Позвольте $p_\mu$ быть общим ненулевым 4-вектором, и пусть $m=\sqrt{p_\mu p^\mu}\neq 0$ (давайте выберем $\operatorname{Im}m\ge0$). Пусть также $\gamma^\mu$ будет гамма-матрицами Дирака .

Докажите, что собственные значения $\not p=\gamma^\mu p_\mu$ равны $\pm m$, и они оба 2-вырождены.

Я знаю, что это должно быть правдой из-за явных решений уравнений $(\not p\pm m)u=0$, когда я использую данное представление гамма-матриц. Но есть ли способ доказать это независимо от представления? (В любом случае я предполагаю, что $\gamma^{\mu\dagger}=\gamma^0\gamma^\mu\gamma^0$.)

Я также доказал первую часть утверждения, используя $\not p \not p = m^2$, но я не могу придумать никакого способа определить кратность двух собственных значений. Я знаю, что единственные возможности для кратностей $m$ и $-m$ могут быть $(1,3)$, $(2,2)$, $(3,1)$, но я не могу исключить возможности $1,3$.


РЕДАКТИРОВАТЬ: Мой ответ ниже опирается на предположение, что кратность собственных значений $m$ и $-m$ составляют $4$, что эквивалентно тому, что $\not p$ диагонализируем. Но начиная с $\not p^\dagger=\gamma^0\not p \gamma ^0\neq \not p$, это кажется мне совсем не тривиальным! Как я могу доказать, что $\not p$ диагонализуем?

Я обнаружил, что все утверждение эквивалентно $$\exists S\:\colon\:\not p=S^\dagger \gamma^0DS,S^\dagger\gamma^0=S^{-1},D=\operatorname {diag}(m,m,-m,-m)\,,$$, но мне не удалось доказать это.

Ответы [ 2 ]

4 голосов
/

После нескольких часов борьбы, ответ появился в моей голове сразу после публикации.

Так как $\not p \not p = m^2$, то для каждого собственного вектора $u$, соответствующего собственному значению $\lambda$, $$\not p u = \lambda u \qquad \implies \qquad \not p \not p u = \lambda ^2 u \qquad \implies \qquad \lambda ^2 = m^2\,,$$, которое доказывает, что $\pm m$ являются единственно возможными собственными значениями.


Ответ на редактирование OP (часть 1) :

Поскольку $(m^{-1}\not p)^2=1$, , то $m^{-1} \not p$ диагонализуем , как и $\not p$. Как следствие, сумма кратностей $m$ и $-m$ равна $4$. Обратите внимание, что в этой точке одна из двух кратностей может быть нулевой.


Пусть тогда $n$ будет кратностью собственного значения $m$. Тогда $4-n$ - кратность собственного значения $-m$. $$0=\operatorname{tr} \not p=nm+(4-n)(-m)=(2n-4)m\qquad \implies \qquad n=2\,.$$

Это доказывает, что $\exists S$ такой, что $\not p = S^{-1}DS$.


Ответ на редактирование OP (часть 2) :

Что касается условия $S^{-1}=S^\dagger \gamma^0$, оно не доказуемо, так как в целом оно ложно; однако можно выбрать такой $S$, поскольку $$\begin{aligned}\not pu & =mu\\ \not pv & =-mv \end{aligned} \quad\implies\quad\bar{v}u=v^{\dagger}\gamma^{0}u=0\,.$$

0 голосов
/

Как написано, утверждение кажется неправильным: если $p_\mu$ является вектором, подобным пространству, $p_\mu p^\mu=-m^2$ (при условии, что подпись $\{1,-1,-1,-1\}$) В формулировке утверждения не предполагается, что уравнение Дирака выполнено. Причем знак величины || в утверждении предполагает, что $p_\mu$ действительно может быть космическим.

Добро пожаловать на сайт физиков.нет, где вы можете задавать вопросы и получать ответы от других членов сообщества.
...