Плоскость Пуанкаре и Логистическая Карта - физиков.нет
Винтажный Клуб для гитаристов
2 голосов
/

Как мы можем нарисовать плоскость Пуанкаре и фазовый портрет для Логистической карты для различных значений параметров?

1 Ответ

1 голос
/

Для динамических систем в целом вы обычно моделируете динамику в компьютере - например, численно интегрируете дифференциальные уравнения или просматриваете карты - и затем можете анализировать свои данные. Упомянутые в вопросе инструменты в основном используются для визуализации решений:

  • a фазовый портрет обычно представляет собой график одной или нескольких траекторий в фазовом пространстве системы (то есть в пространстве состояний, т. Е. В пространстве, где каждая точка обозначает другое состояние системы);
  • a График Пуанкаре является (для 1-D систем) графиком, например, $x_{n+1}$ против $x_n$, т. Е. Для траектории $x_0, x_1, x_2, x_3, ...$ Пуанкаре сюжет будет двухмерным с точками $(x_0,x_1), (x_1,x_2), (x_2,x_3), ...$;
  • не путайте график Пуанкаре с одноименной картой Пуанкаре , которая отображает траектории с меньшей размерностью, чем у системы, путем означает часть его фазового пространства (подробности см. в ответах 1 и 2 , Wikipedia , ...). Что касается логистической карты, то она 1-D, поэтому она имеет 0-D раздел / карту Пуанкаре - не очень полезный для визуализации.

Как мы можем нарисовать плоскость Пуанкаре и фазовый портрет на Логистической карте для различных значений параметров?

  1. выберите значение параметра $r$;
  2. выберите начальное условие для переменной состояния $x$: это $x_{n=0}$;
  3. получить траекторию $x_0$ путем итерации $x_{n+1}=rx_n(1-x_n)$.

Теперь, имея эту траекторию в руках, вы можете получить графики (вручную или с помощью программного обеспечения), такие как график Пуанкаре для $r=4$, отображаемый в Википедии Логистической карты :

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c1/Logistic_map_scatterplots_large.png

Для другого значения параметра вы получите другой график. Трехмерный график с осями $r$, $x_{n+1}$ и $x_n$ также возможен.

Логистический фазовый портрет - это просто отрезок линии, $x_n \in [0,1]$. Он может показать, какие его части более плотно заселены траекториями, и двухмерный график $\{x_n\}$ как функция параметра $r$ известен как бифуркационная диаграмма . Снова из Википедии :

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/50/Logistic_Bifurcation_map_High_Resolution.png

Также стоит упомянуть, по крайней мере, для 1-D карт, график паутины , который, по сути, является графическим представлением итерационного процесса, который очень полезен для получения интуиция о процессе. Википедия примеры использовать именно логистическую карту:

enter image description here enter image description here

Добро пожаловать на сайт физиков.нет, где вы можете задавать вопросы и получать ответы от других членов сообщества.
...