Разница между локальной инерциальной рамой и координатной картой - физиков.нет
Винтажный Клуб для гитаристов
1 голос
/

В большинстве случаев локальный инерциальный фрейм определяется "физически", но я ищу математически значимое определение локального инерциального фрейма, чтобы решить мою проблему:

Является ли локальная инерциальная система координат координатной картой данного многообразия? Но тогда локальная инерциальная система отсчета не должна быть очень маленькой (как это должно быть в общей теории относительности), поскольку диаграмма может быть целым многообразием.

1 Ответ

2 голосов
/

в GR, локальная инерциальная система отсчета, построенная в конечной окрестности геодезической, подобной времени (т.е. вокруг свободного падающего тела в течение определенного промежутка времени), представляет собой четырехмерную локальную координатную карту, такую ​​что, точно по геодезической , все символы Кристоффеля $\Gamma^a_{bc}$ исчезают. Это самое сильное условие, которое может потребоваться в общем искривленном пространстве-времени. Используя эти координаты, с временной координатой, измеренной вдоль геодезической, и тремя пространственными координатами, перпендикулярными геодезической, с поправками до третьего порядка, движение другого свободно падающего тела, пересекающего исходное, изображается в виде линейной кривой. Другими словами, гравитационное ускорение приблизительно отменяется в пространственной окрестности наблюдателя в состоянии покоя с эталонным телом.

ADDENDUM Практическая конструкция указанных координат заключается в следующем. Зафиксируем псевдоортонормированный базис $e_0,e_1,e_2,e_3$ касательного пространства $T_pM$ начальной точки $p= \gamma(0)$ времениподобной геодезической $\gamma : [0,T] \to M$. Предположим, что $e_0= \dot{\gamma}(0)$ и определим $e_0(t),e_1(t),e_2(t),e_3(t)$ как аналогичный базис, параллельно транспортируемый по $\gamma$ в каждую точку $\gamma(t)$. Наконец, если $t\in [0,T]$ и $x \in \mathbb R^3$ определить $$q(t,x)= \exp_{\gamma(t)}\left(\sum_{k=1}^3 x^k e_k(t)\right)\:.$$ Можно доказать (например, см. Учебник О'Нила), что существует $\delta>0$ и открытый шар с центром в начале координат $B\subset \mathbb R^3$ такой, что карта $$(0,\delta) \times B \ni (t,x) \mapsto q(t,x)$$ является диффеоморфизмом в открытое множество, включающее часть $\gamma$ для $t \in (0, \delta)$. Другими словами, числа $(t,x^1,x^2,x^3)$ являются локальными координатами в окрестности указанной части $\gamma$. При непосредственном рассмотрении видно, что, вычисляя символы Кристоффеля в этих координатах, можно найти $$\Gamma^a_{bc}(t,0,0,0)=0 \quad \mbox{for $t \in (0,\delta)$}\:. \tag{1}$$ Диаграмма, покрытая координатами $t,x^2,x^2,x^3$, представляет собой риманову нормальную координатную диаграмму, адаптированную к определению $\gamma$ (это математическое соответствие более математически неопределенного понятия используемой локальной инерциальной системы отсчета физиками). Вы видите, что он определен в конечной области (не бесконечно малой), хотя его соответствующее свойство (1) выполняется точно вдоль (части) рассматриваемой кривой.

При некоторых вычислениях (1) влечет за собой то, что уравнение другой геодезической $\gamma_1$, пересекающее $\gamma$ в, скажем, $\gamma(t_0)$, имеет вид для трех констант $v^1,v^2,v^3$ $$x^\alpha(t) = v^\alpha \cdot (t-t_0) + O((t-t_0)^3)\quad \alpha =1,2,3\:.\tag{2}$$ Другими словами, ограничиваясь областью координат $t,x^2,x^2,x^3$, движение другого свободно падающего тела будет движением с постоянной скоростью , как только тело будет близко к центру координат, где Первоначальный эталон свободного падения тела $\gamma(t)$ остается (это происходит для $t\to t_0$). Принцип эквивалентности математически очевиден в отсутствие члена второго порядка, пропорционального $(t-t_0)^2$, в (2).

Подводя итог, локально инерциальная система отсчета математически изображается в виде довольно конкретной координатной карты, адаптированной к части данной геодезической, подобной времени, представляющей свободно падающее тело. Этот тип локальных координат называется римановыми нормальными координатами . Вообще говоря, этот участок координат охватывает не все многообразие (однако это верно для пространства-времени Минковского), а лишь небольшую область. Однако его актуальность касается только того, что происходит именно на эталонных геодезических.

Добро пожаловать на сайт физиков.нет, где вы можете задавать вопросы и получать ответы от других членов сообщества.
...