Обоснованность аппроксимации показателя Ляпунова - физиков.нет
Купить гитару в Москве
1 голос
/

Я пытался получить показатель Ляпунова для некоторых динамических нелинейных систем и обнаружил, что это неправда (как я и ожидал), что расстояние между двумя траекториями с немного отличающимися начальными условиями всегда растет экспоненциально ( в хорошем приближении).

Вместо этого я обнаружил (для уравнения логистики и системы Лоренца), что логарифмический график расстояния между траекториями является постоянным в начале, затем идет линейным (то есть экспоненциальным), а затем возвращается к постоянной.

Почему это? Единственное условие, которое я нашел для работы приближения Ляпунова, состоит в том, что система должна быть линеаризуемой. Почему аппроксимация не проходит через некоторые промежутки времени?

Ответы [ 2 ]

2 голосов
/

Вместо этого я обнаружил (для логистического уравнения и системы Лоренца), что логарифмический график расстояния между траекториями постоянен в начале

Этого не должно быть, и я не могу это подтвердить. Вот разделение двух траекторий, которые я получаю для логистической карты (в среднем за 10000 реализаций):

Lyapunov plot for logistic map

А вот то же самое для системы Лоренца:

Lyapunov plot for Lorenz system

Начальный более высокий уклон для системы Лоренца, вероятно, обусловлен начальным смещением вблизи сепаратрисы, то есть областью, где нелинейность играет роль при очень малых масштабах длины. См., Например, Wolf и др. . На самом деле система Лоренца - не самая лучшая система для расчета показателей Ляпунова по методу Вольфа.

Наконец, обратите внимание, что для многих систем требуется некоторое время, чтобы разделение выровнялось в направлении наибольшего роста, и пока это не произошло, разделение может расти медленнее или даже сокращаться. Тем не менее, он не должен быть постоянным, и это не относится ни к логистической карте (поскольку есть только одно направление), ни к системе Лоренца (из-за эффекта, упомянутого в последнем абзаце.

Единственное условие, которое я нашел для работы приближения Ляпунова, состоит в том, что система должна быть линеаризуемой.

Но линеаризуемость должна сохраняться на шкале длины расстояния траекторий. Поскольку системы являются нелинейными, неизбежно должна существовать шкала длин, на которой линейность больше не задается. Часто этот масштаб длины соответствует размеру аттрактора, когда траектории снова начинают сближаться из-за конечного размера аттрактора. Однако для некоторых систем это может быть меньший масштаб длины.

Обратите внимание, что более продвинутые методы вычисления показателя Ляпунова (например, Бенеттин и др. ) решают эту проблему, работая только с бесконечно малым разделением.

1 голос
/

Поведение примерно постоянное в начале, потому что при очень коротких временных масштабах преобразование фазового пространства, вызванное эволюцией времени, является в основном деформацией, когда расстояния изменяются с коэффициентом $O(1)$.

Средняя фаза - это когда хаос действительно растет, а расстояния растут в геометрической прогрессии.

В конце, в очень длинных временных масштабах, максимально возможное расстояние в основном достигнуто, и равновесие достигнуто, таким образом, расстояние больше некуда расти.

Добро пожаловать на сайт физиков.нет, где вы можете задавать вопросы и получать ответы от других членов сообщества.
...