Эта однопетлевая диаграмма для теории $\phi^{4}$ - перенормировка и перемещение в пространство позиций - физиков.нет
Купить гитару в Москве
3 голосов
/

Это в некоторой степени связано с более ранним вопросом, который я задал о следующей диаграмме в теории $\phi^{4}$:

enter image description here

Я следил за этими конспектами лекций Х. Клейнерта и В. Шульте-Фролинде.

Говоря, что мы находимся в $D$ -измерениях и переходя в импульсное пространство, приведенная выше диаграмма соответствует следующему: $$ - \lambda \int \frac{d^{D}p}{(2\pi)^{D}} \frac{1}{p^{2}+m^{2}} = - \lambda \frac{(m^{2})^{D/2}}{(4\pi)^{D/2}} \Gamma\left(1 - \tfrac{D}{2}\right) $$

Сказанное выше расходится для $D=4$, поэтому мы рассматриваем малое $\epsilon$, для которого $4-D=\epsilon$. Рассмотрим произвольный массовый параметр $\mu$ и введем безразмерную константу связи $g =\lambda \mu^{-\epsilon}$. Вышеизложенное затем гласит: $$ = - m^{2} \frac{g}{(4\pi)^{2}} \left( \frac{4 \pi \mu^{2}}{m^{2}} \right)^{\epsilon/2} \Gamma\left( \tfrac{\epsilon}{2} - 1 \right) $$ И выполняя расширение Тейлора около $\epsilon$, мы обнаруживаем, что вышеприведенное становится ($\psi$ - функция дигаммы): $$ \approx m^{2} \frac{g}{(4\pi)^{2}} \left[ \frac{2}{\epsilon} + \psi(2) + \log\left( \frac{4 \pi \mu^{2}}{m^{2}} \right) + \mathcal{O}(\epsilon) \right] $$

$\ $

Я заинтересован в получении вклада из вышеперечисленного в позиционном пространстве, в безмассовом пределе $m \to 0$. У меня два вопроса:

  1. В приведенных выше примечаниях к лекции говорится, что приведенная выше диаграмма является ИК-расходящейся в пределе, $m^{2} \to 0$. Что это значит, точно ?

  2. Если у нас есть поступающий импульс $k$, и приведенная выше диаграмма соответствует функции $\tilde{F}(k)$ в пространстве импульсов, то в пространстве позиций мы получаем вклад, определяемый $F(x_{1},x_{2}) = \int \frac{d^{4}k}{(2\pi)^{4}} e^{- k \cdot (x_{1} - x_{2})} \tilde{F}(k) $. Как мне это сделать в рамках размерной регуляризации? Могу ли я даже сделать это? Где зависимость $k$ в приведенном выше, что я могу даже сделать интеграл, а затем, как я могу завершить этот интеграл?

В конце дня я пытаюсь понять природу расхождения для этой диаграммы в пространстве позиций (в безмассовом случае).

1 Ответ

2 голосов
/
  1. ИК-дивергенция означает, что она расходится при низких энергиях, и вы можете видеть, что когда $m=0$, интеграл расходится при $p =0$.
  2. Эта циклическая диаграмма в phi4, в частности, не зависит от внешнего импульса, поэтому результат должен быть одинаковым при представлении импульса или представлении положения.
Добро пожаловать на сайт физиков.нет, где вы можете задавать вопросы и получать ответы от других членов сообщества.
...