Подвесная масса от пружины / Установка потенциала до 0 - физиков.нет
1 голос
/

Я работаю над проблемой из Книги Тейлора по классической механике, и она высветила пару проблем, которые я так и не смог полностью решить (несмотря на то, что получил хорошие оценки в продвинутой механике старшекурсников и EM).

Вот вопросы:

a ) Покажите, что пружина, подчиняющаяся закону Гука, имеет соответствующую потенциальную энергию $U = \frac{1}{2}kx^2$, если мы выберем $U$ равным нулю в положении равновесия.

b) Если эта пружина подвешена вертикально с массой $m$, подвешенной на другом конце и вынужденной двигаться только в вертикальном направлении, найдите продолжение $x_0$ новой позиции равновесия. Покажите, что полный потенциал (пружина плюс сила тяжести) имеет ту же форму $\frac{1}{2}ky^2$, если мы используем координату $y$, равную смещению, измеренному от новой позиции равновесия в $x=x_0$, и переопределите нашу контрольную точку так, чтобы $U=0$ в $y=0$.

Что я знаю

Я знаю, что мы определяем потенциал поля как работа, чтобы переместить объект через поле от опорной точки $x_0$, при котором мы определим потенциал, чтобы быть $0$

$U(\vec{r}) = -\int_{\vec{r_0}} ^{\vec{r}}\vec{F}\cdot{d\vec{r}}~~$

Что мне непонятно Я не совсем понимаю, что мы на самом деле делаем математически, когда мы «устанавливаем $U =0$». Я думал об этом по-разному, и я никогда не понимал, что правильно:

1 ) Я думал об этом как о применении фундаментальной теоремы исчисления $U(\vec{r}) = -\int_{\vec{r_0}} ^{\vec{r}}\vec{F}\cdot{d\vec{r}} = -[U(\vec{r}) - U(\vec{r_0})]~~$

Это последнее равенство, где я немного запутался (очевидно, потому что я только что доказал, что что-то равняется своему собственному аддитивному обратному)

Теперь $U(r_0)$ исчезает, потому что мы выбрали его равным нулю.

Редактировать было отмечено, что это неправильно, потому что антипроизводное силы, оцениваемой в точке, само по себе не является потенциалом.

2) В качестве альтернативы, мы изменяем нашу систему координат так, чтобы мы поместили начало координат в $U = 0$. Предполагая, что все потенциалы зависят от положения, так что потенциал равен нулю, когда $\vec{r} = 0$, это хорошо работает, но я не знаю, существуют ли экзотические потенциалы, которые зависят от $\vec{r}$ как-то иначе.

Моя попытка решения

1)

Если я зафиксирую свои оси координат так, чтобы нефиксированный конец пружины лежал в начале координат ($\vec{r}= 0$), мы получим, что проделанная работа по растяжению пружины:

$\int_0^x \vec{F} \cdot d\vec{r} = -\int_0^x kx'dx' = -\frac{kx'^2}{2}\big|_0 ^ x = -\frac{kx^2}{2}$.

Так что это работает, но я не уверен, правильно ли я ", установив $U$ в ноль в контрольной точке.

2)

Найти новое положение равновесия просто; Мне нужно знать, когда сила гравитации равна силе пружины; это когда

$$-kx = mg$$ (определяющая сила положительная вниз).

Итак, наш новый $x_0 = \frac{mg}{k}$

Следующая часть меня очень смущает; если мы установим наш новый нулевой потенциал в новое положение равновесия, и тогда сила на пружине будет $mg - ky$, где $y$ - это смещение из этого нового равновесия, и я исключаю тот факт, что это векторы, поскольку Re ограничен в 1-D движение. Тогда потенциал для любого данного смещения составляет $\int_0^y (mg- ky )dy = mgy -\frac{ky^2}{2}$. Но я пытаюсь показать, что суммарный потенциал имеет вид $-\frac{ky^2}{2}$. Чего мне не хватает?

Редактировать было отмечено, что сила, действующая на пружину, фактически зависит от ее смещения от длины покоя. Таким образом, потенциал должен быть $\int_0^y (mg- k(y-\frac{mg}{k})dy = -\frac{ky^2}{2}$

Любые разъяснения по этим темам будут с благодарностью.

Ответы [ 2 ]

1 голос
/

Энергия, запасенная в пружине, представляет собой площадь под действием приложенной внешней силы по отношению к графику растяжения.

enter image description here

Когда масса используется для расширения вертикальной пружины, вам также необходимо учитывать изменение гравитационной потенциальной энергии массы $m$.

enter image description here

В равновесии потенциальная энергия системы масса-масса (и Земля) равна $U_{\rm o}=\frac 1 2 k x_{\rm o}^2- mg x_{\rm o}$

но $mg = k x_{\rm o}$ в положении равновесия, так что $U_{\rm o}=-\frac 1 2 k x_{\rm o}^2$

Теперь вытяните пружину еще $y$.

$U_{\rm y}=\frac 1 2 k (x_{\rm o}+y)^2- mg (x_{\rm o}+y) = -\frac 1 2 k x_{\rm o}^2 + \frac 1 2 k y^2$

Изменение нуля потенциальной энергии в положение равновесия требует, чтобы вы добавили $\frac 1 2 k x_{\rm o}^2$ к потенциальным энергиям, найденным выше.

$\Rightarrow U_{\rm new,y} = \frac 1 2 k y^2$

0 голосов
/

Ваш первый вопрос из-за путаницы. Полный интеграл равен отрицательному PE. Если примитив интеграла будет P (r), то определенный интеграл в правой части будет P (r) -P (ro), а отрицательным значением является потенциальная энергия. Но P (r) и P (ro) сами по себе не являются потенциальными энергиями.

Для второй части рассмотрим тот факт, что сила упругости зависит от искажения пружины по отношению к недеформированному состоянию. Таким образом, сила упругости не определяется как ky, где y - смещение от нового равновесия.

Для пружины без прикрепленной массы, PE будет $U(x)= -\int_0^xF(x)dx = -\int_0^x kx dx = -\frac{1}{2} kx^2|^x_0=-[\frac{1}{2} kx^2-0]=-\frac{1}{2} kx^2$

Это всего лишь частный случай более общего: $\Delta U= -\int_{x_1}^{x_2}F(x)dx = -\frac{1}{2} kx^2|^{x_2}_{x_1}=-[\frac{1}{2} kx_2^2- \frac{1}{2} kx_1^2]$

Это изменение PE при перемещении тела с 1 на 2.

...