Собственные значения оператора Клейна-Гордона - физиков.нет
0 голосов
/ 18 мая 2017

Если я правильно понял, что прочитал правильно, собственные значения оператора Клейна-Гордона (KG) $\Box+m^{2}$ равны $-p^{2}+m^{2}$, но как это показать?

Наивно я предполагал, что собственные функции будут иметь вид $f_{p}(x)=e^{ip\cdot x}$ (где $p\cdot x=p^{0}x^{0}-\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}$), такой, что $$(\Box +m^{2})e^{ip\cdot x}=(-p^{2}+m^{2})e^{ip\cdot x}$$ однако, я чувствую, что что-то здесь упускаю, поскольку ясно, что $f_{p}(x)=e^{ip\cdot x}$ зависит от обоих $x^{\mu}$ и $p^{\mu}$. Является ли это просто континуальным аналогом дискретного случая, т. Е. Можно иметь некоторый оператор $A$, действующий на набор собственных векторов $v^{i}$, каждый с соответствующим собственным значением $\lambda_{i}$, такой что (в компонентной форме, $$A_{ij}(v^{k})_{j}=\lambda_{k}(v^{k})_{i}$$ (примечание что индекс $i$ равен , а не , суммированным здесь). Следовательно, принимая «предел континуума», индекс $k$ становится непрерывным параметром $p$, $k\rightarrow p$ и индексом $i$ ( обозначает составляющие собственного вектора в дискретном случае) становится еще одним непрерывным параметром $x$, $i\rightarrow x$?

1 Ответ

0 голосов
/ 21 мая 2017

Да, действительно:

Собственные значения конечномерной матрицы помечены целым числом. Как вы писали, для каждого такого целого числа есть собственный вектор.

В бесконечномерном случае дифференциального оператора (x - непрерывный аналог индексов матрицы i или j), собственные значения помечены (в данном случае) действительными числами $p^2$. Собственные функции связаны с этими собственными значениями и поэтому помечены p.

Добро пожаловать на сайт физиков.нет, где вы можете задавать вопросы и получать ответы от других членов сообщества.
...