Закон обратных квадратов в $D$ размерах (два случая) - физиков.нет
Купить гитару в Москве
3 голосов
/

Я читаю «Квантовая теория поля в двух словах» А. Зи, и я решил проблему закона обратных квадратов в $D$ измерениях. К сожалению, меня смутили некоторые результаты. Позвольте мне кратко описать мои выводы и сосредоточиться на результатах. Энергия взаимодействия имеет следующий вид: $$E(r)=-\int\frac{d^Dk}{(2\pi)^D}\frac{e^{i{\bf k}\cdot{\bf r}}}{k^2+m^2}\equiv -W(r),$$ где $W(r)$ может быть рассчитано с использованием параметризации Швингера (см. Wiki) с параметром $A=k^2+m^2$. Затем я получил результат: $$W(r)=\frac{1}{(2\pi)^{D/2}}\left(\frac{m}{r}\right)^{D/2-1}K_{D/2-1}(mr),$$ где $K_{\nu}$ - функции Бесселя 2-го рода. Результат демонстрирует правильный ответ для массивного носителя силы ($m\neq 0$) в 3D, но я не понимаю, как получить $W(r)$ в 2D случае с массивным носителем, потому что $K_0(mr)\neq \ln(mr)$. Более того, мой расчет падает на случай безмассового носителя ($m=0$), это легко увидеть. Кто-нибудь может объяснить, как из моего расчета оценить правильные ответы для безмассового носителя?

1 Ответ

1 голос
/

Спасибо, AccidentalForierTransform & Sean E. Lake!

(1) Чтобы получить правильный ответ для безмассового носителя, можно использовать параметризацию Швингера и получить следующее выражение: $$E(r)=-\frac{2^{D/2-1}}{r^{D-2}}\Gamma\left(\frac{D}{2}-1\right)\frac{1}{2(2\pi)^{D/2}}.$$ (2) К сожалению, оба случая (массивные и безмассовые носители) имеют «плохое поведение» для $D=2$. Гамма-функция имеет полюс на $z=0$. Чтобы справиться с этим, можно использовать размерную регуляризацию: заменить $D\rightarrow D+2\epsilon$. Таким образом, мера интеграции заключается в изменении: $$\frac{d^{D}k}{(2\pi)^D}\rightarrow \frac{d^{D+2\epsilon}k}{(2\pi)^{D+2\epsilon}},$$ но с помощью этой замены следует исправить параметр размерности и регуляризации $\mu$. Наконец, мера имеет следующую форму: $$\frac{d^{D+2\epsilon}k}{(2\pi)^{D+2\epsilon}}\mu^{-2\epsilon}.$$ Эта регуляризация дает физически правильный ответ. Гамма-функция должна быть разбита на серии: $$\Gamma(\epsilon)\approx\frac{1}{\epsilon}-\gamma.$$ И дробь $(1/(\mu r))^{\epsilon}$ тоже должна быть расширена: $$\left({\mu r}\right)^{-\epsilon}\approx 1 - \ln (\mu r)\epsilon.$$

Учитывая все вышесказанное, ответ $$E(r)=\frac{1}{2\pi}\ln(\mu r),$$ который имеет правильную размерность (в отличие от $-\ln r/(2\pi)$, который является «нефизическим» из-за логарифма длины).

Комментарии :

  1. размерная регуляризация не меняет характер сингулярности гамма-функции для $D=2$, потому что в разложении содержится полюс в 0.
  2. Параметризация Швингера является очень удобным способом вычисления пропагаторного типа, поскольку позволяет избежать шарады с гиперперсферическими координатами
  3. Конечно, эти приемы просты для хороших физиков, но я не нашел никаких объяснений и решений этой проблемы
Добро пожаловать на сайт физиков.нет, где вы можете задавать вопросы и получать ответы от других членов сообщества.
...