Вопрос о коллекторах и координатных преобразованиях - физиков.нет
8 голосов
/ 18 октября 2017

Я знаю об определении дифференцируемого коллектора и о том, что функции перехода:

$\psi_{a}$ o $\psi_{b}^{-1}$

$\psi_{b}$ o $\psi_{a}^{-1}$

- способ построения понятия преобразования координат (смена диаграмм).

Но даже после прочтения книг Уолда, Шона Кэрролла и Соловья, к сожалению, я не понял, почему мы выполняем преобразования координат, такие как:

$\displaystyle V'^{a} = \frac{\partial x'^{a}}{\partial x^{b}}V^{b}$

Я имею в виду, я не «связывал» абстрактное понятие преобразования координат с помощью функций перехода с понятием преобразования координат частными производными. Кроме того, я знаю, что функции $\psi$ дифференцируемы, но почему, априори, мы хотим дифференцировать тогда?

Ответы [ 3 ]

5 голосов
/ 18 октября 2017

(Этот ответ предполагает, что вы знаете дифференциальную геометрию и просто хотите знать, как физик получает это выражение.)

Пусть $V,W\subset\mathbb{R}^n$ и $\psi : V\to U$ и $\phi : W\to U'$ будут диаграммами для $U,U'\subset M$ на некотором многообразии $M$. Тогда «смена координат» на $U\cap U'$ является функцией перехода $$ \phi^{-1}\circ \psi : V\to W.$$ Эта функция вызывает естественное отображение между касательными векторами, pushforward $$ \mathrm{d}(\phi^{-1}\circ \psi) : TV\to TW,$$ который является якобианом преобразования, то есть в каждой точке $x\in V$ мы имеем $$ \mathrm{d}(\phi^{-1}\circ \psi)_x : T_xV\to T_xW, v\mapsto J(\phi^{-1}\circ\psi)(x)\cdot v.$$ Написанные в стандартных координатах $\mathbb{R}^n$ и $V$, и $W$ являются подмножествами, якобиан - это именно матрица с компонентами $\frac{\partial x'^a}{\partial x^b}$, о которых вы спрашиваете, где $x' = \phi^{-1}\circ \psi$.

Мы хотим, чтобы функции $\psi$ были дифференцируемыми именно потому, что мы хотим, чтобы они приводили это отображение между касательными векторами. Если карты не дифференцируемы, на касательные векторы не накладывается естественное отображение.

3 голосов
/ 18 октября 2017

Предположим, что $\varphi:U\rightarrow \mathbb{R}^n$ является функцией диаграммы. Если $p\in M$ является точкой, то мы пишем $$ \varphi(p)=(x^1(p),...,x^n(p)), $$, поэтому $\varphi$ как локальная $\mathbb{R}^n$ -значная функция равна $n$ локальным $\mathbb{R}$ -значным функциям, которые являются координатными функциями графика.

Следовательно (и поскольку $\varphi$ является обратимым), обратная функция задается $\varphi^{-1}:\mathbb{R}^n\rightarrow M$ (я злоупотребляю обозначениями, потому что обычно она не отображается из всех $\mathbb{R}^n$, интерпретирую это как частичную функцию) , Это значение для данного набора $n$ описывается как $$ \varphi^{-1}(x^1,...,x^n). $$ Здесь я снова злоупотребляю обозначениями, потому что $x^\mu$ теперь являются переменными в $\mathbb{R}^n$. Я не уверен, что именно является источником и темой вашей путаницы, но я предполагаю, что это как-то связано с этим. Мы используем $x^\mu$ как (локальную) функцию от $M$ до $\mathbb{R}$, так и в качестве координаты / переменной в $\mathbb{R}^n$.

Мы также можем сказать, что $$ p=\varphi^{-1}(x^1(p),...,x^n(p)) $$ и здесь мы не злоупотребили обозначениями.

Теперь пусть $\psi:V\rightarrow \mathbb{R}^n$ также будет функцией диаграммы, и допустим, что $U\cap V\neq\emptyset$. Чтобы упростить запись, я уменьшу $U$ и $V$, чтобы они совпадали, и я просто буду использовать $U$ для обеих координатных областей.

Мы можем написать $$ \psi(p)=(y^1(p),...,y^n(p)) $$, поэтому функции координат $\psi$ теперь обозначаются $y$. Обратное утверждение равно $$ p=\psi^{-1}(y^1(p),...,y^n(p)), $$, поэтому мы снова злоупотребляем обозначениями и думаем, что обратная функция $\psi^{-1}$ является функцией переменных $y^1,...,y^n$.

С этими обозначениями функция перехода $\psi\circ\varphi^{-1}$ является функцией $\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n$, значение которой для данного элемента ее области может быть записано как $$ (\psi\circ\varphi^{-1})(x^1,...,x^n)=(y^1(\varphi^{-1}(x^1,...,x^n)),...,y^1(\varphi^{-1}(x^1,...,x^n)))=(y^1(x^1,...,x^n),...,y^n(x^1,...,x^n)). $$

Здесь, в последнем уравнении, мы совершили отвратительное злоупотребление нотацией и "забыли о" $\varphi^{-1}$ - мы просто рассматривали функцию перехода $\psi\circ\varphi^{-1}$ как функциональную связь между зависимые переменные $y^\mu$ и независимые переменные $x^\mu$.

Такое злоупотребление обозначениями очень распространено в дифференциальной геометрии - даже среди математиков. Потому что даже простые вещи были бы более или менее неразрешимыми, если бы мы использовали очень педантичную запись.


Об актуальном вопросе: оптимальный ответ зависит от того, как вам нравится думать о касательных векторах. Обычно он включает в себя точечные дифференциалы на кольце гладких функций, например. карты вида $ f\mapsto v(f)\in\mathbb{R} $ такие, что это отображение $\mathbb{R}$ -линейно и удовлетворяет $$ v(fg)=v(f)g(p)+f(p)v(g), $$ или представляет собой касательные векторы к кривым, и в этом случае при воспроизведении гладких кривых, проходящих через $p$. *, существует отношение эквивалентности. *

Связь между ними может быть задана следующим образом: если $\gamma$ - гладкая кривая на $M$, проходящая через $p$ в $t_0$, и $f$ - гладкая функция, определенная в открытом окрестности, содержащие $p$, тогда касательный вектор кривой $\gamma$ в $p$ задается дифференцированием (в $p$), описанным как $$ v(f)=\left.\frac{d}{dt}(f\circ\gamma)\right|_{t=t_0}. $$ Кроме того, можно показать, что все производные возникают таким образом.

Я буду использовать это в качестве примера, потому что так легко исследовать поведение компонентов вектора.

Поскольку $\varphi^{-1}\circ\varphi=\text{Id}$ функция тождества, мы можем написать $$ \left.\frac{d}{dt}(f\circ\gamma)\right|_{t=t_0}=\left.\frac{d}{dt}(f\circ\varphi^{-1}\circ\varphi\circ\gamma)\right|_{t=t_0}. $$

Но что такое $f\circ\varphi^{-1}$? Это многомерная функция , которая отображает $x$ -координаты в числа вместо абстрактных точек $p$. А что такое $\varphi\circ\gamma$? Это $\mathbb{R}^n$ -значная кривая $(\varphi\circ\gamma)(t)=(x^1(t),...,x^n(t))$ (предупреждение! Сильное злоупотребление обозначениями здесь!) Описывает однопараметрическое семейство $x$ -координат вместо абстрактных $p$ -точек!

В частности, мы можем использовать обычное цепочечное правило обыкновенного исчисления для оценки этой производной, и мы получаем $$ \left.\frac{d}{dt}(f\circ\varphi^{-1}\circ\varphi\circ\gamma)\right|_{t=t_0}=\frac{\partial(f\circ\varphi^{-1})}{\partial x^\mu}\frac{d (x^\mu\circ\gamma)}{d t}=\frac{\partial f}{\partial x^\mu}\frac{d x^\mu}{dt}, $$, где 1) все производные оцениваются там, где это необходимо, 2) в последнем уравнении мы сделали массовое злоупотребление обозначение еще раз, 3) действует соглашение о суммировании.

Но это конечно $v(f)$, поэтому мы можем "отделить" $f$ от этого и записать $v$ как $$ v=\frac{d x^\mu}{dt}\frac{\partial}{\partial x^\mu}. $$ Еще раз, $t$ -производное вычисляется в правильном месте, и отметим, что строго $\partial/\partial x^\mu$ не является частной производной, а является производным, который действует, беря частную производную $x$ -координированного представления функции (!!!) (поэтому $\partial/\partial x^\mu$ действует на $f$, но действительные частные производные действуют на $f\circ\varphi^{-1}$). Здесь мы можем написать $$ v=v^\mu\frac{\partial}{\partial x^\mu}, $$, где $v^\mu=dx^\mu/dt|_{t=t_0}$, и мы называем $v^\mu$ компонентами $v$ в диаграмме $\varphi$.

Мы также можем проверить, что $$ \frac{\partial}{\partial x^\mu}(x^\nu)=\frac{\partial (x^\nu\circ\varphi^{-1})}{\partial x^\mu}=\delta^\nu_\mu, $$, поэтому мы имеем $$ v^\nu=v(x^\nu). $$

Затем мы можем спросить, каковы составляющие $v$ относительно координат $y$? Мы оцениваем $$ v(y^\nu)=v^\mu\frac{\partial}{\partial x^\mu}(y^\nu)=v^\mu\frac{\partial(y^\nu\circ\varphi^{-1})}{\partial x^\mu}=v^\mu\frac{\partial y^\nu}{\partial x^\mu}, $$ где последнее уравнение - по сути, злоупотребление обозначениями.

1 голос
/ 18 октября 2017

Напомним, что если $X$ является векторным пространством с базисом $(e_1,\ldots,e_n)$ и соответствующим двойным базисом $(e^1,\ldots,e^n)$, то $w = e^i(w)e_i$ для всех $w\in X$.

Мы применяем это для каждого касательного пространства многообразия. Основа - $(\partial/\partial x^1,\ldots,\partial/\partial x^n)$, а двойная - $(dx^1,\ldots,dx^n)$. Это означает, что $V^a=dx^a(V)$. Точно так же $V^{'a}=dx^{'a}(V) $. Теперь правило цепочки гласит, что $$dx^{'a} =\frac{\partial x^{'a}}{\partial x^b} dx^b , $$ откуда все это в $V$ дает $$V^{'a} =\frac{\partial x^{'a}}{\partial x^b} V^b, $$ как и хотелось.

...