Симплектическая форма на ковариантном фазовом пространстве - физиков.нет
Винтажный Клуб для гитаристов
2 голосов
/

Обычно фазовое пространство физической системы определяется как кокасательный пучок пространства конфигурации на некотором фиксированном отрезке времени $t = t_0$, удобно координируемый с помощью $\{q^a, p_a\}$, где $$ p_a = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}^a}. $$

Эти $p$ координаты (называемые каноническими импульсами) удобны, поскольку симплектическая структура на фазовом пространстве имеет очень простую форму: $$ \left\{ q^a, p_b \right\} = \delta^a_b, \\ \{q,q\}=\{p,p\}=0. $$

Момент размышления убедит вас, что фазовое пространство - не более чем пространство решений уравнений движения вместе с подходящей топологией, превращающей его в дифференциальное многообразие.

Это второе определение кажется гораздо более естественным и далеко идущим, чем первое: оно имеет смысл даже в экзотических случаях, например с вырожденным гессианом, с дискретным временем, с недетерминированностью уравнений движения и т. д. Кроме того, это определение не выделяет конкретное значение параметра времени $t = t_0$, что делает независимость $t_0$ в манифесте канонического формализма. На самом деле я бы пошел дальше и сказал, что это второе определение вообще не делает никаких предположений о существовании времени!

Я хотел бы понять, как определить симплектическую структуру (скобку Пуассона) для этого второго определения фазового пространства и до какой степени это возможно.

Я ожидаю, что эта структура будет сгенерирована функционалом действия. $$ S(t_i, t_f) = \intop_{t_i}^{t_f} dt \mathcal{L} $$ взятый как функция фазового пространства (то есть функция на пространстве решений уравнений движения, параметризованных $t_i$ и $t_f$).

Однако я не знаю, как написать общее определение скобки Пуассона между двумя функциями фазового пространства, определяемыми функционалом действия.

Ответы [ 2 ]

0 голосов
/

Хорошо, я немного покопался, и вот что я нашел (основываясь на ответе Qmechanic, но немного более общего).

Определите фазовое пространство вне оболочки как простое пространство всей конфигурации поля, не обязательно удовлетворяющее уравнениям движения. Классические наблюдаемые вне оболочки, по аналогии, являются функциями над фазовым пространством вне оболочки. Мы определяем скобку Пайерлса между двумя такими функционалами как

$$ \left\{ F[x], G[x] \right\} = \int dt' \int dt \, \frac{\delta F}{\delta x(t')} G_F(t', t) \frac{\delta G}{\delta x(t)}, $$

где $G_F(t', t)$ - пропагандист Фейнмана (замедленный минус продвинутый). Важный момент, который я раньше не понимал, это то, что $G_F$ на самом деле является функционалом, который зависит от $x(t)$. И это не описывает распространение всего поля $x$, это просто линейное распространение его бесконечно малых колебаний. Таким образом, весьма нетривиальная зависимость от $x$ закодирована в скобке Пайерлса.

Я все еще не понимаю одну вещь. Результирующая структура фазового пространства вне оболочки с скобкой Пайерлса не эквивалентна обычному фазовому пространству (и фактически бесконечно больше). Как мне вернуть эту алгебру на фазовое пространство?

0 голосов
/

Требуемая ковариантная скобка Пуассона для лагранжевых теорий известна как скобка Пайерлса $$\{ F,G \}~:=~\iint_{[t_i,t_f]^2}\!dt~dt^{\prime}~\sum_{I,K=1}^{2n} \frac{\delta F }{\delta z^I(t)}~G^{IK}_{\rm ret}(t,t^{\prime})~\frac{\delta G }{\delta z^K(t^{\prime})} - (F\leftrightarrow G),$$ где $G^{IK}_{\rm ret}(t,t^{\prime})$ - это функция отсталого Грина , см., например, различные учебники Брайса С. ДеВитта и это & это Phys.SE ответы пользователя Урса Шрайбера.

Добро пожаловать на сайт физиков.нет, где вы можете задавать вопросы и получать ответы от других членов сообщества.
...