Получение интуиции «векторного поля» в общей теории относительности - физиков.нет
Купить гитару в Москве
1 голос
/

В GR мы определяем векторное поле следующим образом:

$$ v^a=\sum_\mu v^\mu (\partial_\mu)^a $$

Символ a в верхнем индексе является абстрактной индексной нотацией.

Я понимаю эту привязанность векторного поля, если в каждой точке есть функция, которая воздействует на или вдоль кривой.

Много раз в ОТО существует векторное поле, привязанное к пространству-времени без указания каких-либо функций или кривой. Что это значит интуитивно?

Пример: Для ориентируемого во времени пространства-времени (M, $g_{ab})$ у нас всегда есть вектороподобное векторное поле.
- Ладно, я понял, что у нас есть векторное поле, похожее на время. Но каковы эти векторы в каждой точке, а каково физическое измерение этих векторов?
- Я не уверен, правильное ли это мышление или нет, но у меня возникают проблемы с пониманием идеи векторного поля, когда мы говорим о векторах как производных по направлениям, прикрепленных к каждой точке.

Как это векторное поле можно понять интуитивно. Например, когда мы говорим о векторных полях в Классической теории поля, мы прикрепляем вектор к каждой точке пространства, как вектор электрического поля (имеющий физическую размерность [Ньютоны / Кулон]) для электрического векторного поля.

Редактировать: Каков вектор г здесь в примере? Я получил все остальное! enter image description here

РЕФРАЗИРОВАННЫЙ ВОПРОС: Мы определяем векторы по производным по направлениям в Diff.Geo. Тогда в каждой точке на многообразии мы имеем единственное касательное пространство, в котором живут эти векторы. Когда у нас есть кривая, проходящая через эти точки, мы можем взять производную по направлениям в каждой точке и иметь векторное поле на основе координат в каждой точке вдоль кривой, используя параметр кривой.

Но много раз в ОТО мы определяем векторное поле, не говоря о какой-либо кривой, т.е. мы связываем вектор с каждой точкой на многообразии, не говоря ни о какой кривой. Итак, как нам сделать выбор конкретного вектора в каждой точке на многообразии и назвать его векторным полем, если у нас нет кривой и параметра кривой.

1 Ответ

0 голосов
/

Быстрые ответы:

Нет необходимости указывать функцию, чтобы говорить об объекте, который ест функции и выплевывает действительные числа. Мы можем говорить о том, как такой объект будет воздействовать на любую функцию, которую мы выберем, чтобы кормить его, но нам не нужно конкретно указывать одну функцию.

Оказывается, что при любом выборе вектора существует такая кривая, что действие вектора на функцию можно рассматривать как производную по направлению вдоль этой кривой. Я более подробно остановлюсь на этом позже в своем ответе.

Размеры вектора обычно равны Гц (при условии, что мы параметризуем наши кривые чем-то с измерениями времени). Однако компоненты вектора имеют размеры длины с течением времени (при условии, что координаты многообразия имеют размеры длины). Это изменится, если вы используете разные координатные диаграммы.

Вот более полное объяснение.

Мотивация

С точки зрения грубой интуиции картина, которая у вас в голове, на самом деле не плохая. Для некоторого многообразия $M$ (скажем, сферы) в каждой точке $p\in M$ вы прикрепляете касательную плоскость $T_p M$. Каждая касательная плоскость является просто копией $\mathbb{R}^d$, где $d$ является топологическим измерением $M$ (для сферы, $d=2$), а векторы можно рассматривать как знакомые "стрелки", которые живут в $\mathbb{R}^d$.

Представь, что у тебя на уме. То, что вы воображаете, называется вложением сферы в трехмерное пространство. Понятие приклеивания плоскости к точке на сфере имеет смысл, только если вы представляете сферу как подмножество большего пространства.

Мы бы хотели этого избежать. В частности, если $M$ должен представлять всю вселенную, немного странно пытаться смоделировать динамику на нем, обратившись к представлению «сверху вниз» извне $M$. Вместо этого мы бы предпочли использовать внутренний подход - определять векторы в пространстве, не выходя из пространства.

Грубая идея

Представьте, что вы идете по дому и измеряете температуру в каждой точке. Пусть $p$ будет точкой в ​​вашем доме (обратите внимание, что я не определил точку какой-либо системой координат или чем-то еще - $p$ действительно представляет точку, а не пару чисел). Функция

$$T : \text{House} \rightarrow \mathbb{R}$$ $$ p \mapsto \text{Temperature at } p$$

отображает точки в вашем доме на температуру в этой точке.

Когда вы идете по некоторому пути через $p$, измеряемая вами температура будет постоянно меняться. Поэтому вы можете определить скорость изменения температуры при прохождении через $p$. Если вы следуете по одному и тому же пути с удвоенной скоростью, то скорость изменения удвоится; если вы пойдете другим путем через $p$, то скорость изменения также будет другой.

Это центральная идея. Если $f$ является функцией на коллекторе (то есть в вашем доме), то скорость изменения $f$ в конкретной точке $p$ содержит информацию о направлении, в котором вы двигаетесь через $p$, а также скорость, с которой вы идете - что составляет «направление» и «величина».

Теперь наша задача - сделать это понятие математически точным.


Диаграммы коллектора

Пусть $M$ - гладкое многообразие. диаграмма $(U,x)$ - это открытое подмножество $U\subset M$ и непрерывная обратимая карта $$ x : M \rightarrow \mathbb{R}^d$$ $$ p \mapsto x(p)$$

, который принимает точку $p\in U$ до $x(p)=(x^1,x^2,\ldots,x^d) \in \mathbb{R}^d$. Мы называем $x(p)$ координатами точки $p$ на графике.

Мы должны остановиться здесь, чтобы оценить, что это значит. До сих пор мы обычно определяли точку по ее координатам , что означает, что мы неявно выбирали конкретные диаграммы. Теперь мы признаем, что точка существует как точка , а не как список чисел, и что координаты точки полностью зависят от того, какие метки мы решили применить к ней.

Кривые на коллекторах

Мы определяем кривую $\gamma:\mathbb{R} \rightarrow M$ как карту, которая берет действительное число и сопоставляет его с точкой в ​​многообразии $M$. Если хотите, действительное число может представлять время, но мы пока не говорим о физике, поэтому пока это просто параметр.

Производные по кривой

Пусть $f$ будет гладкой функцией $f : M \rightarrow \mathbb{R}$ (примечание: набор гладких функций на $M$ обозначен $C^\infty(M)$), и пусть $\gamma$ будет кривой, которая проходит через точку $p\in M$, такую что $\gamma(0) = p$ (это просто для удобства).

Теперь рассмотрим функцию $$ f \circ \gamma : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$$ $$ t \mapsto f\big( \gamma(t) \big) $$

Эта функция принимает действительное число $t$ и отображает его на значение $f$ в точке в многообразии, заданной $\gamma(t)$. Другими словами, это значение функции вдоль кривой $\gamma$.

Как функция от $\mathbb{R}$ до $\mathbb{R}$, имеет смысл дифференцировать этот объект - мы определяем $(f \circ \gamma)'(0)$ как производную по направлению от $f$ вдоль $\gamma$ в точка $p$.

Такая вещь заслуживает новой записи - мы назовем ее $V_{\gamma,p}$.

$$ V_{\gamma,p} : C^\infty(M) \rightarrow \mathbb{R} $$ $$ f \mapsto (f\circ \gamma)'(0)$$

Это также заслуживает названия - мы говорим, что $V_{\gamma,p}$ - касательный вектор к кривой $\gamma$ в точке $p$. Пространство всех таких объектов, определенных в точке $p$, обозначается $T_pM$ и называется касательным пространством к $M$ в $p$.

Касательные пространства

Определив один касательный вектор, мы можем начать поиск других. Учитывая некоторую кривую $\gamma$, можно ли найти другую кривую $\sigma$ такую, что $$ V_{\sigma,p}f = c V_{\gamma,p}f $$ для любого выбора гладкой функции $f$ и любого действительного числа $c$? Ответ да - поэтому мы можем умножить эти касательные векторы на действительные числа, чтобы получить новые касательные векторы.

Можем ли мы добавить их? То есть, учитывая две кривые $\gamma$ и $\sigma$, всегда ли существует третья кривая $\delta$ такая, что

$$ V_{\gamma,p}f+V_{\sigma,p}f = V_{\delta,p}f$$

для любой гладкой функции $f$? Ответ снова: да . Я не буду доказывать эти два факта (первый очень прост, а последний требует немного) - вы можете подумать о них сами или просто посмотреть их.

В любом случае это означает, что $T_pM$ действительно является векторным пространством - мы можем добавлять векторы и умножать их на действительные числа.

Координатное представление касательных векторов

Это мясо и картошка твоего вопроса. До этого момента, надеюсь, все было разумно - но они были очень абстрактными. Пришло время опуститься до уровня диаграммы и посмотреть, как эти вещи выглядят, когда мы определяем систему координат.

Напомним, что координатная карта $x$ является непрерывной и обратимой, поэтому $x^{-1}:\mathbb{R}^d \rightarrow U \subset M$ совершенно четко определена. Поэтому давайте выберем график $(U,x)$. Тогда мы можем написать $$ V_{\gamma,p}f = (f \circ \gamma)'(0) = (f \circ x^{-1} \circ x \circ \gamma)'(0)$$

Мы можем рассматривать это как композицию двух карт:

  1. $(x \circ \gamma):\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^d$ берет действительное число $t$ и сопоставляет его с координатами соответствующей точки $\gamma(t)$ на графике.
  2. $(f \circ x^{-1}) : \mathbb{R}^d \rightarrow \mathbb{R}$ берет координаты точки $\gamma(t)$ на графике и сопоставляет их со значением $f$ в этой точке.

Когда мы дифференцируем, мы делаем это, используя правило цепочки:

$$(f \circ x^{-1} \circ x \circ \gamma)'(0) = \partial_a \big(f \circ x^{-1}\big)(x(p)) \cdot \big(x^a \circ \gamma\big)'(0)$$

Примечание. Символ $\partial_a$ применяется к функциям $g:\mathbb{R}^d\rightarrow \mathbb{R}$ и означает «частную производную $g$ относительно слота $a^{th}$».

Отсюда мы определяем новый символ: $$ \left(\frac{\partial}{\partial x^a}\right)_p $$

Вот идея: символ $\partial_a$ используется для дифференцирования функций на $\mathbb{R}^d$, которые принимают $d$ действительные числа в качестве входных данных. Однако $f$ является функцией коллектора . Единственным входом является точка $p$, так как же ее дифференцировать?

Ответ таков: мы берем точку $p$, сопоставляем ее с ее координатами , выбирая диаграмму $x$. Затем мы дифференцируем функцию $f \circ x^{-1}$ (которую мы знаем, как делать) и оцениваем в $x(p)$.

Другими словами,

$$\left(\frac{\partial}{\partial x^a}\right)_p f := \partial_a\big(f \circ x^{-1}\big) (x(p))$$

и поэтому мы видим, что на графике $(U,x)$,

$$V_{\gamma,p}f = V^a \left(\frac{\partial }{\partial x^a}\right)_p f$$ где мы определили действительные числа $$V^a \equiv (x^a \circ \gamma)'(0)$$

будет компонентами из $V$ в диаграмме.


Это большая часть основного технического оборудования. В старые времена нашим определением вектора был список чисел $(V^1,V^2,\ldots,V^d)$. Через призму дифференциальной геометрии это просто особый выбор метки для более абстрактного объекта, который существует независимо от какого-либо конкретного выбора системы координат.

Вы также можете рассчитать, что должно произойти с компонентами вектора при смене диаграммы - это полезное упражнение, поэтому я не буду здесь его воспроизводить.

Добро пожаловать на сайт физиков.нет, где вы можете задавать вопросы и получать ответы от других членов сообщества.
...