Общее определение устойчивого состояния - физиков.нет
Купить гитару в Москве
1 голос
/

Согласно многим источникам (включая Википедию , Stephani & Kluge, D.J. Acheson) устойчивое состояние:

В теории систем система в стационарном состоянии обладает многочисленными неизменными во времени свойствами. Это означает, что для этих свойств $p$ системы частная производная по времени равна нулю:

$$ \frac{\partial p}{\partial t} = 0 $$

Но почему это так определено? Почему не ${d \over dt} p=0$? Если только $ \frac{\partial p}{\partial t} = 0 $, тогда все равно произойдет изменение во времени, если $p=p(\vec r(t))$!

Поскольку люди, похоже, не согласны с тем, что это даже законный вопрос, здесь мотивация для этого, Википедия о полной и частичной производной:

Полная производная функции отличается от ее соответствующей частной производной ($\partial$). Вычисление полной производной от f по t не предполагает, что другие аргументы постоянны , в то время как t изменяется; вместо этого он позволяет другим аргументам зависеть от t.

Так почему мы можем считать, что другие переменные постоянны? Если мы используем $ \frac{\partial p}{\partial t} = 0 $ для определения наличия устойчивого состояния, почему мы должны предполагать, что косвенной зависимости от времени не существует?

Моя попытка объяснить это, если это, конечно, глупость, объяснение, почему было бы здорово, но просто хороший ответ на мой вопрос было бы тоже:

Причины, по которым ${\partial p \over \partial t} =0$ может иметь больше смысла, чем полная производная, равная нулю.

1. ${d p \over dt} =0 $ сам по себе уже указывает на сохранение потока $j$ и плотности $\rho$, связанных с $p$ по теореме Рейнольдса: $${d \over dt} p={d \over dt}\int_V \rho dV= \int_V \frac{\partial \rho}{\partial t} dV+ \int_{\partial V} \underbrace{\rho \vec v}_{= j} \cdot \vec n dA$$

, поскольку ${d p\over dt} =0$ обычно выполняется независимо от V, если мы используем теорему Гаусса $$\Rightarrow \frac{\partial \rho}{\partial t}+\nabla j=0$$

Мы видим, что полная производная, равная нулю, дает нам уравнение непрерывности.

2.

${ d p \over dt} =0 $ подразумевается, если мы выпишем это $${dp \over dt } = { \partial p \over \partial t} + ( v \nabla ) p=0$$ то есть $${ \partial p \over \partial t} =- ( v \nabla ) p$$ Итак, по определению частной производной: если мы держим все остальные переменные и только смотрим на изменение $t$, мы видим, что эта производная не исчезает, и у нас даже есть зависимость от времени $p$.

Ответы [ 3 ]

2 голосов
/

Эта дискуссия кажется знакомой; Я полагаю, что этот вопрос является продолжением некоторых комментариев к ответу, который я предоставил на один из ваших предыдущих вопросов. В частности:

спасибо за отличный ответ. Хотя я должен сказать, что нахожу устойчивое состояние здесь немного запутанным, поскольку в механике флюиса это обычно означает $∂_t v=0$, но я рискну сказать, что вы имеете в виду устойчивое массовое состояние? Так $\frac{dM}{dt}=0$ верно? - Пиндакаас 25 ноября в 10:33

Мой ответ:

@ pindakaas - в стационарном состоянии в любое время производные исчезают, т.е. $\partial_t\rho=0$ и $\partial_t \boldsymbol{v}=0$. Подразумевается, что плотность постоянна и по уравнению непрерывности $\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{v}=0$. Семестр $$\boldsymbol{\nabla}\cdot[\rho\boldsymbol{v}\otimes\boldsymbol{v}]=\rho\boldsymbol{\nabla}\cdot[\boldsymbol{v}\otimes\boldsymbol{v}]=\rho\boldsymbol{v}(\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{v})+\rho(\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{\nabla})\boldsymbol{v}$$ используя личность, указанную в моем ответе. - Нлуиджи 25 ноября в 10:55

и с вами заключаем:

Не думаю, что проясняю себя. Предполагая массовое сохранение достаточно. Предполагая $\partial_t \rho=0$ и допуская несжимаемость, просто не нужно. - Пиндакаас 25 ноября в 18:11

В то время я действительно не понимал, о чем вы говорите (даже после нашего разговора в чате), но я позволил этому уйти, потому что решил, что мы говорим об одном и том же только с разных точек зрения. Но этот вопрос подтверждает мое подозрение, что мы на самом деле не говорили об одном и том же. Надеюсь, теперь я могу это прояснить.

Рассмотрим некоторое консервативное количество $\theta=f\left(t,\boldsymbol{r}\right)$ (где $\theta$ может быть $\rho$ или $\boldsymbol{v}$), его общая производная (часто известная как материальная производная в континууме механика) по определению $${\mathrm{D}\theta \over \mathrm{D}t} = {\partial\theta \over \partial t}{dt \over dt} + {\partial \theta \over \partial \boldsymbol{r}}\cdot{d\boldsymbol{r} \over dt} = {\partial\theta \over \partial t} + \boldsymbol{v} \cdot {\partial \theta \over \partial \boldsymbol{r}}$$ Здесь любые члены могут зависеть от времени, но если бы мы рассмотрели всего лишь $\theta=f\left(\boldsymbol{r}\right)$, то частная производная по времени не существовала бы в вышеприведенном уравнении; это означает, что если $\theta\neq f\left(t\right)$, то по определению $\partial_t\theta =0$. Регистр $\theta=f\left(\boldsymbol{r}(t)\right)$ эквивалентен $\theta=f\left(t,\boldsymbol{r}\right)$, т. Е. $\theta$ нельзя считать независимым от времени.

Если устойчивое состояние определяется ${\mathrm{D}\theta \over \mathrm{D}t} =0$, то кроме зависимости от времени также теряется конвективный поток величины $\theta$ со скоростью $\boldsymbol{v}$. Очевидно, что в области, подобной гидродинамике, это контрпродуктивно. Вместо устойчивого состояния мы подразумеваем, что все соответствующие величины не изменяются со временем, то есть ${\partial\theta \over \partial t}=0$. Теперь может показаться, что некоторые термины (например, $\boldsymbol{v}$) все еще могут зависеть от времени, но на примере, который я покажу, это не так.

Рассмотрим уравнения неразрывности и уравнения Навье-Стокса, которые необходимо решать одновременно в гидродинамике: $$\partial_t \rho + \boldsymbol{\nabla}\cdot\left(\rho\boldsymbol{v}\right)=0$$ $$\partial_t \left(\rho\boldsymbol{v}\right) + \boldsymbol{\nabla}\cdot\left(\rho\boldsymbol{v}\otimes\boldsymbol{v}\right)=-\boldsymbol{\nabla}p + \mu\Delta \boldsymbol{v}$$

В устойчивом состоянии мы говорим, что никакие величины не изменяются со временем, то есть $\partial_t \rho=0$ и $\partial_t \boldsymbol{v}=0$, так что $\rho\neq f\left(t\right)$ и $\boldsymbol{v} \neq f\left(t\right)$: $$\boldsymbol{\nabla}\cdot\left(\rho\boldsymbol{v}\right)=0$$ $$\boldsymbol{\nabla}\cdot\left(\rho\boldsymbol{v}\otimes\boldsymbol{v}\right)=-\boldsymbol{\nabla}p + \mu\Delta \boldsymbol{v}$$ Никакие члены в этих уравнениях в настоящее время не зависят от времени, но некоторые являются пространственно зависимыми, $\mu$ является материальной постоянной, а $p$ относится к полю скоростей (в несжимаемых потоках), которое по определению является устойчивым.

Устойчивый поток не означает, что время не существует; Если бы вы должны были сделать симуляцию устойчивого потока и высвободить следовые частицы в поток, то в последующие интервалы времени частицы будут двигаться вдоль линий тока потока. Тот факт, что поток стабильный, просто означает, что линии тока не меняются во времени, а не то, что $\boldsymbol{v}=0$.

1 голос
/

Проще говоря, устойчивое состояние - это точечное явление, а не явление глобальной системы. Чтобы ответить на ваш вопрос, я приведу пример стационарной системы, для которой $\partial p / \partial t = 0$, но $d p / d t \neq = 0.$

Представьте себе горизонтальный поток жидкости на оси $x$, текущий в направлении $+x$. Предположим, что скорость жидкости может изменяться в разных точках вдоль потока, как и ширина потока, но в любой данной точке вдоль оси $x$ скорость и ширина остаются постоянными во времени. Это стационарная система - если я сделаю снимок потока во время $t = 0s$ и сделаю еще один снимок во время $t = 10 s$, эти два изображения будут выглядеть одинаково. За этот промежуток времени через каждую точку в потоке мог пройти большой объем жидкости, но система в целом выглядит так же, как и десять секунд в прошлом.

Пусть $v(x, t)$ будет скоростью потока в данной позиции $x$, а $w(x, t)$ будет его шириной. Приведенное выше слабое понятие «устойчивого состояния» сформулировано более строго следующим образом:

Этот поток находится в устойчивом состоянии, если в любой заданной точке $x$ в потоке интересующие количества $w(x, t)$ и $v(x, t)$ не изменяются со временем.

Поскольку мы фиксируем точку $x$ в потоке, вышеприведенное эквивалентно требованию $\frac{\partial v}{\partial t} = \frac{\partial w}{\partial t} = 0.$

Общее количество производных не может быть равно нулю. Например, у нас есть

$$ \frac{d v}{d t} = \frac{\partial v}{\partial x} \frac{d x}{d t} + \frac{\partial v}{\partial t}. $$

Если градиент скорости $\partial v / \partial x$ не равен нулю, а скорость $d x / d t$ в данной точке отлична от нуля, то полная производная $dv / dt$ не равна нулю. То есть, если я смотрю на одну частицу жидкости, конечно, ее скорость меняется со временем. Он движется вдоль потока, и скорость изменяется в разных точках потока.

Но в любой данной точке скорость всех частиц, проходящих через эту точку, постоянна на протяжении всего времени. Это то, что подразумевается под «устойчивым состоянием».

0 голосов
/

Википедия абсолютно ненадежна для математики и науки. Вы правы, что полный дифференциал должен быть равен нулю, а не частной производной. Это просто здравый смысл, и он не имеет ничего общего с транспортом или чем-то конкретным, как указывает Хваразми.

Добро пожаловать на сайт физиков.нет, где вы можете задавать вопросы и получать ответы от других членов сообщества.
...