Численный расчет электрических мультиполей - физиков.нет
Винтажный Клуб для гитаристов
0 голосов
/

Я пытаюсь составить сюжет о первых мультипольных терминах в Mathematica. Мой сюжет не тот, что я ожидал, поэтому, возможно, моя проблема в математике.

После книги Гриффитса по электродинамике угол, используемый для описания полюсов, представляет собой угол между элементом заряда и точкой, которую мы рассчитываем для поля, я назову его $\psi$, и этот угол зависит от углов оба вектора относительно системы отсчета:

https://math.stackexchange.com/questions/231221/great-arc-distance-between-two-points-on-a-unit-sphere

У меня вопрос: есть ли у меня распределение заряда, от каких переменных оно будет зависеть? Я использовал $r '$, $\psi$ и $\phi '$, где 'координаты - это координаты вектора, связывающего начало координат с элементами заряда.

Надеюсь, мне было ясно. Извините за английские ошибки.

1 Ответ

1 голос
/

Подводя итог комментариям :

Если вы хотите описать какое-то произвольное распределение заряда $\rho(\vec r')$, то вам нужно рассчитать электростатический потенциал как $$ V(\vec r)=\int\frac{\rho(\vec r')\mathrm d\vec r'}{||\vec r-\vec r'||} \tag 1 $$ по-прежнему. Подставив явные зависимости, нужно рассчитать $$ V(\vec r)=\int \frac{\rho(r',\theta',\phi') r'² \sin(\theta')\mathrm dr'\mathrm d\theta'\mathrm d\phi'}{\sqrt{r^2+r'^2-2rr'\cos(\psi(\theta,\theta',\phi,\phi'))}}, \tag 2 $$ где $\psi(\theta,\theta',\phi,\phi')=\arccos\left(\cos\theta\cos\theta'+\sin\theta\sin\theta'\cos\left(\phi-\phi'\right)\right)$ - угол между $\vec r$ и $\vec r'$ (как описано в сообщении math.se, на которое вы ссылались ).

Если вы хотите, вы можете затем сделать многополярное разложение для кулоновского ядра с обратным квадратным корнем (по сути его разложение Тейлора в $r/r'$), и это даст вам многополярный ряд для $V(\vec r)$ в терминах многополярные моменты $\rho(\vec r')$.

Чтобы быть немного более явным, рассмотрим многополярный ряд для ядра вплоть до диполярного члена, $$ \frac{1}{\sqrt{r^2+r'^2-2rr'\cos(\psi(\theta,\theta',\phi,\phi'))}} =\frac{1}{r} +\frac{r'}{r^2}\left(\cos\theta\cos\theta'+\sin\theta\sin\theta'\cos\left(\phi-\phi'\right)\right), $$ и подставьте его в интеграл в $(2)$. Вы должны быть в состоянии привести его в форму $$ V(\vec r)=\frac{Q}{r}+\frac{\vec r\cdot\vec d}{r^3}, $$ где $$ Q=\int \rho(r',\theta',\phi') r'² \sin(\theta')\mathrm dr'\mathrm d\theta'\mathrm d\phi' $$ это общий заряд, и $$ \vec d=\int (r'\sin\theta'\cos\phi'\hat{x}+r'\sin\theta'\sin\phi'\hat{y}+r'\cos\theta'\hat{z})\rho(r',\theta',\phi') r'² \sin(\theta')\mathrm dr'\mathrm d\theta'\mathrm d\phi' $$ это дипольный момент $\rho(\vec r)$. Если вы хотите выйти за рамки этого термина в терминах квадруполя - ну, вы знаете, что делать.

Добро пожаловать на сайт физиков.нет, где вы можете задавать вопросы и получать ответы от других членов сообщества.
...