Как гравитационное поле ведет себя внутри звезды? - физиков.нет
Купить гитару в Москве
1 голос
/

Внутреннее гравитационное поле звезды с постоянной плотностью определяется как

$ds^{2}=-\left(\frac{P_{c}+\rho_{0}}{P(r)+\rho_{0}}\right)^{2}dt^{2}+\frac{dr^{2}}{1-\frac{8\pi\rho_{0}}{3}r^{2}}+r^{2}d\theta^{2}+r^{2}\sin\theta^{2}d\phi^{2}$

Где $P_{c}$ - это давление в центре звезды, $\rho_0$ - это плотность звезды, а $P(r)$ - это давление в точке $r$.

Мой вопрос заключается в том, меняет ли $dr^{2}$ компонент $\left({1-\frac{8\pi\rho_{0}}{3}r^{2}}\right)^{-1}$ когда-либо знак при прохождении от центра звезды к поверхности или он всегда остается одним и тем же знаком.

1 Ответ

2 голосов
/

Очевидно, это меняет знак, когда $r_{0} = \sqrt{\frac{3}{8\pi\rho_{0}}}$

Возможно, более интересный вопрос "почему это?" Итак, мы знаем, что внешность звезды должна быть метрикой Шварцшильда, поскольку это уникальное сферически-симметричное вакуумное решение с нулевым зарядом. Следовательно, мы знаем, на поверхности радиус $R$:

$$1-\frac{2M}{R} = \left(\frac{P_{c} + \rho}{P(R) + \rho}\right)^{2}$$

и

$$1-\frac{2M}{R} = 1 - \frac{8\pi\rho}{3}R^{2}$$

Решение второго уравнения для $M$:

$$M = \frac{4\pi \rho R^{3}}{3}$$

, помещая это в первое уравнение:

$$1-\frac{8\pi\rho R^{2}}{3} = \left(\frac{P_{c} + \rho}{P(R) + \rho}\right)^{2}$$

Но на нашем первом шаге мы определили значение $r_{0}$, чтобы наше изменение знака было равно $r_{0} = \sqrt{\frac{3}{8\pi\rho_{0}}}$, так что это действительно:

$$1-\left(\frac{R}{r_{0}}\right)^{2} = \left(\frac{P_{c} + \rho}{P(R) + \rho}\right)^{2}$$

Должно быть ясно, что правая часть этого уравнения всегда положительна и отлична от нуля, поэтому, если $R$, поверхность нашей звезды, всегда больше, чем $r_{0}$, то для нашей системы уравнения. Что это значит? Ну, есть теорема, что если вы когда-нибудь поместите массу $M$ внутри сферы радиуса $2M$, то невозможно иметь устойчивое тело, и должен произойти коллапс в черную дыру. Но каждый раз, когда я добавляю полоску радиуса $dR$ к поверхности звезды с постоянным объемом, я увеличиваю радиус на величину $dR$, но я увеличиваю объем (и, следовательно, массу, поскольку это постоянная плотность ) на сумму $4\pi R^{2}dR$. Следовательно, масса будет расти быстрее радиуса, и как только я позволю радиусу стать достаточно большим, независимо от его центральной плотности, я в конечном итоге положу массу $M$ внутрь радиуса Шварцшильда, распределение вещества больше не будет стабильным. и я получаю черную дыру.

Это то, о чем на тебя кричит смена знака.

Добро пожаловать на сайт физиков.нет, где вы можете задавать вопросы и получать ответы от других членов сообщества.
...