Почему кривая распределения Максвелла Больцмана достигает максимума при $u=0$? - физиков.нет
Винтажный Клуб для гитаристов
0 голосов
/

Please refer to the following picture

Может быть причина в том, что большинство частиц находятся в покое.

Ответы [ 3 ]

1 голос
/

Уравнение и график, который вы показываете, не то, что мы обычно называем распределением Максвелла Больцмана . Это распределение скорости, а не распределение скорости.

Когда мы говорим о распределении Максвелла Больцмана, мы обычно имеем в виду вероятность того, что скорость, то есть модуль скорости, имеет значение между $u$ и $u+du$, и это дает нам распределение:

$$ f(u) = \left(\frac{m}{2\pi k T}\right)^{3/2} 4\pi u^2 e^{-mu^2/2kT} \tag{1} $$

И это дает нам кривые, которые равны нулю при $v=0$ и $v\to\infty$ и пике при $v = \sqrt{2kT/m}$:

MB distribution

( изображение из Википедии )

Но предположим, мы задаем немного другой вопрос. Предположим, вместо того, чтобы смотреть на модуль скорости, мы просим распределение $x$ компонента скорости. Поскольку газ в целом неподвижен, мы ожидаем, что будет столько же частиц с положительным $v_x$, сколько с отрицательным $v_x$, т.е. распределение $v_x$ будет симметричным относительно $v_x=0$.

И это то, что показывает график, который вы показываете. Это дает распределение вероятностей для $v_x$ (или $v_y$ или $v_z$):

$$ f(v_x) = \left(\frac{m}{2\pi k T}\right)^{1/2} e^{-mv_x{}^2/2kT} \tag{2} $$

Мы получаем распределение скорости из уравнения (2), отмечая, что:

$$ u = |\mathbf v| = \sqrt{v_x{}^2 + v_y{}^2 + v_z{}^2} $$

И мы должны умножить на коэффициент $4\pi u^2$, потому что объем сферической оболочки скоростей между $u$ и $u+du$ равен $4\pi u^2 du$.

Или смотреть по-другому, хотя график $f(v_x)$ достигает пика $v_x=0$ для частиц, имеющих $v_x=0$, может иметь любое (ненулевое) значение $v_y$ и $v_z$. То, что частица имеет $v_x=0$, не означает, что ее скорость равна нулю.

1 голос
/

Нет. Это распределение вероятности для единственной составляющей скорости (например, $u_x$), а не для общей скорости ($u = \sqrt{u_x^2+u_y^2+u_z^2}$). Вы можете определить распределение вероятностей для скорости, и (в 3D) это выглядит как this : $$ f(u) = 4\pi \left(\frac{m}{2\pi k T}\right)^{3/2} u^2 e^{-\frac{m u^2}{2kT}}$$ enter image description here

Итак, как вы можете видеть, хотя пик для данного компонента скорости центрирован на нуле, пик для общей скорости - нет.

Если у вас есть миллиард частиц, движущихся в разных направлениях, но с одинаковой скоростью $u$, все их скорости лежат на поверхности сферы радиуса $u$ в пространстве скоростей. Другими словами, их векторы скорости имеют одинаковую длину, но они указывают в разных направлениях. Если предположить, что в газе нет предпочтительного направления, то все эти точки одинаково вероятны .

С другой стороны, набор точек, x-компонента которых близка к нулю, лежит в плоскости $u_x=0$. Я нанес пересечение сферы и плоскости здесь:

enter image description here

Вы видите, насколько велик этот синий круг? Длина окружности пропорциональна количеству точек, которые имеют $u=\sqrt{u_x^2+u_y^2+u_z^2}$ и $u_x \approx 0$.

Посмотрите, что произойдет, когда я увеличу $u_x$ до $0.5 u$:

enter image description here

и теперь $0.9 u$:

enter image description here

По мере удаления от $u_x=0$ круги уменьшаются. Чем меньше кружков, тем меньше точек, которые удовлетворяют данному расположению, тем меньше вероятность того, что это расположение произойдет.

0 голосов
/

Нет. Это просто означает, что частицы движутся перпендикулярно 1-му измерению, которое вы выбрали для своего распределения.

С другой стороны, это может означать, что там нет фазового пространства - объем сферической оболочки радиуса $u$ равен $u^2du$, то есть $0$ при $u=0$.

Добро пожаловать на сайт физиков.нет, где вы можете задавать вопросы и получать ответы от других членов сообщества.
...