Волновая функция ограничена фиксированной траекторией? В самом деле? - физиков.нет
Винтажный Клуб для гитаристов
2 голосов
/

это, наверное, очень глупый вопрос. Прежде всего, я математик, поэтому, пожалуйста, попробуйте использовать нотации без координат.

В квантовой механике часто используется волновая функция в зависимости от фиксированной траектории. Например, в Как получить результат эффекта Ааронова-Бома? , $\psi (x, \gamma)$ зависит от пути $\gamma$. Я могу понять это с точки зрения интегрального квантования пути (которое по сути является пертурбативным и мне не нравится) Однако в философской области квантовой механики кажется неразумным фиксировать траекторию, если волновая функция не разрушена во все возможные моменты времени (мы знаем положение в каждый момент). Обратите внимание, что голономия $\exp (-iq_e \int A)$ является калибровочно-инвариантной, но $A$ (на самом деле это коцил $A =\{A_i, {g_{ij}}\}$, представляющий калибровочную эквивалентность) не обязательно должны быть $d$ -замкнутыми (т.е. $dA_i = F_A$ может быть ненулевым), поэтому это действительно зависит от выбранного пути (а не только от конечных точек). Может быть, это условие просто неявно ставится на граничные условия?

Позвольте мне быть более точным. Я рассмотрю эффект Ааронова-Бома, чтобы разобраться с чем-то более конкретным. Для простоты, давайте возьмем пространство-время $X = \mathbb{R} \times \mathbb{R}^3$ вместе с зарядом в $(t,0)$, то есть $$dF_A = q_m\delta_{(t, 0)}$$ и частицей заряда $q_e$, движущейся по фиксированным путям $\gamma_i$, $i = 1, 2$ с теми же конечными точками.

Что означает $\psi (x, \gamma_i)$ в этом случае? Действительно ли волновая функция рухнула в каждый момент (то есть, всегда ли мы знаем положение)?

Если на вышеуказанные вопросы невозможно ответить без пропагаторов или интегралов по путям, то является ли эффект Ааронова-Бома строго пертурбативным явлением? Если нет, как вывести непартурбативно эффект Ааронова-Бома?

Под выводом эффекта Ааронова-Бома я имею в виду получение разности фаз, которая привела бы к условию квантования заряда Дирака. Например, в формулировке интеграла пути разность фаз задается как $\exp (-iq_e \int_{W_e} A)$ (где $W_e$ - петля через соленоид), и это приводит к $q_m q_e \in 2\pi \mathbb{Z}$, если кто-то хочет, чтобы соленоид был необнаружимым.

Ради полноты я добавлю возможное решение условия квантования заряда Дирака, которое не делает эффект Ааронова-Бома видимым каким-либо осмысленным образом, так что, возможно, кто-то может включить эффект Ааронова-Бома в этот контекст.

Возможное решение (для квантования заряда Дирака, а не для эффекта Ааронова-Бома) дано на стр. 14-16 http://www.maths.ed.ac.uk/~jmf/Teaching/Lectures/EDC.pdf, объявив, что $\chi = \log (g)$ для некоторого калибровочного преобразования $g$, то есть две открытые диаграммы $U_{i} = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3| \ (-1)^i z > 0 \}$, охватывающие $\mathbb{R}^3\setminus 0$ вместе с потенциалами $A_{-}$ и $A_{+}$, определяют $U(1)$ -пакет.

Заранее спасибо.

Ответы [ 3 ]

0 голосов
/

Рассмотрим следующую настройку для электромагнитного поля:

$$\phi(x,y)=U_0\theta(R^2-x^2-y^2),$$ $$\vec A(x,y)=\frac{A_0}2\begin{cases} \left(y,-x,0\right)&x^2+y^2\le R^2\\ \left(\frac{R^2y}{x^2+y^2},-\frac{R^2x}{x^2+y^2},0\right)&\mathrm{otherwise} \end{cases},$$ где $\theta(x)$ - это тэта Хевисайда, а $U_0$ предполагается очень большим - таким, что электрон никогда не попадет внутрь (может быть бесконечность, т. е. однородное граничное условие Дирихле при $x^2+y^2=R^2$), а $R$ - радиус соленоида.

Если вы распространяете электронную волну так, чтобы она шла в направлении соленоида, результат интерференции на стороне, противоположной источнику, зависел бы от $A_0$, даже если $\vec B=\nabla\times\vec A$ исчезает всякий раз, когда $x^2+y^2>R^2$ и волновая функция отлична от нуля только там. Этот является сущностью эффекта Ааронова-Бома. Все разговоры о парах фиксированных путей в этой теме - всего лишь упрощение, облегчающее анализ.

0 голосов
/

Хотел бы добавить к некоторым предыдущим ответам.

Уравнение Кляйна-Гордона / Шредингера маскируется как волновое уравнение во времени и пространстве, но на самом деле это утверждение о частоте и волновом векторе.

В принципе, «волновое» уравнение в постоянном магнитном поле и источнике электронного пучка может быть симметризовано и решено квазиклассически или с помощью методов расширения Борна и частичной волны. Судя по вашему очевидному уровню математического комфорта, я опишу метод, который вы можете легко реализовать.

Вы не измеряете разность фаз на пути. Вы измеряете кривую фазы прибытия по напряженности поля относительно фазы прибытия, когда поля нет. Так уж получилось, что на одной стороне соленоида фаза растянута, а на другой она сжата.

Самый простой способ вычисления общей разности фаз и амплитуд - это выбрать две точки напротив вашего соленоида, $(x_i,y_i)$ и $(x_f,y_f)$, которые образуют линию через ваш соленоид, плюс произвольная точка между ними, $(x',y')$ на деление плоскости через соленоид, нормаль которого - линия, которую вы только что выбрали. Вам необходимо рассчитать как влияние дисперсии поперечного импульса на амплитуду, так и фазовый сдвиг, который происходит на маршруте между вашими тремя точками, то есть два распространения (плоские волны). После этого вы можете интегрировать по всем $(x',y')$ точкам в этой плоскости (или части плоскости), чтобы найти свой полный вектор в конечной точке. Эта взвешенная сумма траекторий треугольника хорошо аппроксимирует фактические искривленные траектории волнового фронта возмущений в истинном электронном векторном поле.

Эта процедура не имеет ничего общего с квантовостью. Многократное распространение - это та же процедура, которую вы используете при решении волновых задач оптики Френеля-Кирхгофа.

Наконец-то. Обращаясь к вашему вопросу о регулярности поля кривизны Берри. Точно так же, как метрика в ОТО может стать особой, есть также особые точки для кривизны Берри. И хуже, когда мы обобщаем проблему за пределы амплитуд. Однако большинство явлений не требуют такого уровня проверки. Оперативно эффект действует только на 4-импульсный спектр собственных состояний, который практически не связан с его двойственным в пространстве-времени вообще в статистическом пределе.

На самом деле существует классический аналог, известный как быстрое медленное адиабатическое циклическое сопротивление. (См. J. Hannay 1985). Его математику легко понять и сравнить с работой Берри о QM (1984).

0 голосов
/

Демонстрация эффекта Ааронова-Бома не требует фиксации траекторий. Обычно диаграммы, показывающие фиксированные траектории, упрощены до двух разных траекторий, чтобы продемонстрировать основную проблему под рукой. Рассмотрим следующий случай, когда в круговой области в двух измерениях существует магнитное поле, которое исчезает за пределами радиуса круга. Несмотря на то, что поле исчезает за пределами круговой области, потенциал магнитного вектора - нет.

Теперь в вашей модели вы заставляете заряд двигаться по двум фиксированным траекториям. В природе этого не происходит, и траектории идут по всем возможным путям, чтобы добраться до детектора, где картина создается из-за фазового фактора вдоль траекторий, который является интегралом от векторного потенциала. Для простоты обычно изображаются два пути, поскольку они дают достаточно хорошую трактовку основных явлений, но это не так, как это работает, и поэтому фазовый фактор не зависит только от двух путей, но он по существу пропорционален интегралу пути векторного потенциала на всех возможных путях (которые могут быть дополнительно упрощены). И поэтому волновая функция не сворачивается во всех точках, как в ОП, а только в детекторе.

Добро пожаловать на сайт физиков.нет, где вы можете задавать вопросы и получать ответы от других членов сообщества.
...