Классификация типов полей в QFT - физиков.нет
Винтажный Клуб для гитаристов
2 голосов
/

В классической теории поля поля являются сечениями связок в пространстве-времени. В частности, мы почти всегда рассматриваем векторные расслоения. Вот некоторые примеры:

  1. Скалярные поля: это сечения тривиального расслоения $M\times \mathbb{R}$, то есть отображения $\psi(x) = (x, \overline{\psi}(x))$. Мы часто в этом случае просто говорим о поле $\psi : M\to \mathbb{R}$, поскольку оно практически одинаково. Они также могут быть комплексными, переключая $\mathbb{R}$ с $\mathbb{C}$.

  2. Векторные поля: это сечения касательного расслоения $TM$. Их также можно охарактеризовать их координатными представлениями $A^\mu$ в диаграммах вместе с правилами преобразования, чтобы гарантировать, что результирующий объект действительно является сечением $TM$.

  3. Тензорные поля: это сечения тензорного расслоения $T^r_s M$, являющиеся $(r,s)$ тензорного типа. Опять же, мы можем представить эти поля в координатах $T^{\mu_1\dots\mu_r}_{\phantom{\mu_1\dots\mu_r}\nu_{1}\dots\nu_{s}}$, указав условия совместимости - так называемые правила тензорного преобразования.

Теперь давайте обратимся к QFT. Как определить тип поля? Я имею в виду, что квантовое поле является операторнозначной функцией или также одним операторнозначным распределением.

Как можно классифицировать поля как скалярные, вещественные, комплексные, векторные, тензорные и так далее? Дело в том, что в то время как в Классической теории полей каждый тип поля имеет различное целевое пространство, то есть значение другого типа, которое он принимает, в QFT все поля имеют операторное значение.

Просто приведу один простой пример, когда все становится размытым. Скалярное поле $\phi(x)$ в Классической теории поля является реальным, если $\varphi(x)^\ast = \varphi(x)$. В QFT неясно, что такое реальное скалярное поле, поскольку как реальное скалярное поле, так и комплексное скалярное поле оцениваются оператором (не одно $\mathbb{R}$ -значное и другое $\mathbb{C}$ -значное).

Полагаю, то же самое случилось бы с векторным полем $A$. Он также является операторным значением, поэтому как скалярное поле $\varphi(x)$, так и векторное поле $A(x)$ принимают значение в $\mathcal{L}(\mathcal{H})$ пространстве линейных операторов в гильбертовом пространстве $\mathcal{H}$.

Итак, учитывая, что все типы полей имеют одно и то же целевое пространство в QFT, как отличить разные типы полей?

1 Ответ

0 голосов
/

Игнорируя проблемы с полями, являющимися операторно-значимыми распределениями, а не функциями, $X$ -значное тензорное поле является частью $T^r_s M \otimes X$, где вы просто тензоруете каждый слой с пространством, в котором поле принимает значения. не проблема - $T^r_s M$ part still определяет, что представляет собой преобразование поля при преобразованиях Пуанкаре, просто то, что каждый компонент этого тензора уже не является действительным или комплексным числом, а значением в $X$ .

Для квантового поля $X$ следует рассматривать как $C^\ast$ -алгебру наблюдаемых, и, поскольку эти алгебры по определению несут понятие «комплексного сопряжения», вы можете записать уравнение $\phi = \phi^\ast$ без любые проблемы.

Основное предположение о QFT - одной из аксиом Вайтмана - это то, что при заданном представлении $\rho$ $C^\ast$ -алгебры на пространстве состояний, конечномерном представлении $\sigma_\text{fin}$ группы Пуанкаре на $T^r_s$ и унитарное представление $U$ группы Пуанкаре на пространстве состояний, мы имеем $$ U(\Lambda,a)\rho(\phi(x))U(\Lambda,a)^{-1} = \rho(\sigma_\text{fin}(\Lambda,0)^{-1}\phi(\Lambda x + a)),$$ что является условием совместимости представления Пуанкаре на пространстве полей и на пространстве состояний.

Добро пожаловать на сайт физиков.нет, где вы можете задавать вопросы и получать ответы от других членов сообщества.
...