Различные определения Вейля Тензор - физиков.нет
Винтажный Клуб для гитаристов
1 голос
/

Я пытаюсь доказать личность $$\nabla^{\rho}C_{\rho\sigma\mu\nu}=\nabla_{[\mu}R_{\nu]\sigma}+\frac{1}{6}g_{\sigma[\mu}\nabla_{\nu]}R$$ для $4D$ пространства-времени.

Задача кажется простой, требующей второго тождества Бианки для тензора кривизны, но я, кажется, упускаю что-то очевидное. Кэрролл (Spacetime and Geometry pg. 147) определяет тензор Вейля в $n$ измерениях как $$C_{\rho\sigma\mu\nu}=R_{\rho\sigma\mu\nu}-\frac{2}{n-2}(g_{\rho[\mu}R_{\nu]\sigma}-g_{\sigma[\mu}R_{\nu]\rho})+\frac{2}{(n-1)(n-2)}g_{\rho[\mu}g_{\nu]\sigma}R.$$

Первое слагаемое отменяет часть второго слагаемого после того, как я действую с ковариантной производной. Следствием идентичности Бьянки, которую я использую, является: $$\nabla^{\rho}R_{\rho\sigma\mu\nu}=\nabla_{[\mu}R_{\nu]\sigma}.$$

Я также нашел другое определение тензора Вейля ( 1 ):

$$C_{\rho\sigma\mu\nu}=R_{\rho\sigma\mu\nu}-\frac{1}{n-2}(g_{\rho[\mu}R_{\nu]\sigma}-g_{\sigma[\mu}R_{\nu]\rho})+\frac{1}{(n-1)(n-2)}g_{\rho[\mu}g_{\nu]\sigma}R$$

и в этом случае я получаю правую руку первого уравнения, умноженную на $\frac{1}{2}$.

Я предполагаю, что я что-то упускаю в определениях / обозначениях, или мой вывод второй идентичности Бьянки неверен.

1 Ответ

2 голосов
/

Различные факторы проистекают из различных условных обозначений символа антисимметризации.

Некоторые тексты определяют $$ A_{[\mu\nu]} = A_{\mu\nu} - A_{\nu\mu}\,, $$ тогда как другие определяют $$ A_{[\mu\nu]} = \frac{1}{2} \left( A_{\mu\nu} - A_{\nu\mu} \right)\,. $$ Мне лично второй съезд нравится гораздо больше!

Способ, которым вы можете проверить, какое соглашение используется, состоит в том, чтобы отметить, что тензор Вейля определяется как оставшаяся без следа часть тензора Римана. Другими словами, требуется удовлетворить $$ C^\mu{}_{\rho\mu\sigma} = 0 \, . $$

Добро пожаловать на сайт физиков.нет, где вы можете задавать вопросы и получать ответы от других членов сообщества.
...