Выбор источника в расчете дипольного момента - физиков.нет
Винтажный Клуб для гитаристов
1 голос
/

Я понимаю ( Выбор источника в мультипольном расширении в электростатике ), что при мультипольном расширении мне не нужно выбирать какой-либо конкретный источник во время вычисления. Но в случае, скажем, двухточечных зарядов $+3q$ при $(0,0,a)$ и $-q$ при $(0,0,0)$, и меня просят рассчитать дипольный момент, я знаю, что должен использовать принцип суперпозиции. Но могу ли я по-прежнему выбирать происхождение? Я считаю, что если я выберу любое другое происхождение, кроме (0,0,0), результат не будет таким же. [Эта проблема от Гриффита.] Может кто-нибудь объяснить, почему при мультипольном расширении выбор источника независим и в этом случае он зависим?

1 Ответ

1 голос
/

Нет. Только мультиполь самого низкого порядка не зависит от позиции. Все более высокие мультиполи будут иметь вклады, которые зависят от выбора координатных осей. Чтобы понять, почему это так, возьмите простейшее распределение заряда - монополь с зарядом $q$ и установите его на $z=a$. Потенциал, создаваемый этим зарядом: $$\Phi(\mathbf{x}) = \frac{q}{\epsilon_0 4\pi \sqrt{x^2 + y^2 +(z-a)^2}}.$$ Теперь выполните расширение серии в $|\mathbf{x}| / a$: $$\begin{align} \Phi(\mathbf{x}) &= \frac{q}{\epsilon_0 4\pi \mathbf{|x|}}\left[\frac{1}{ \sqrt{1 + \left(\frac{a}{|\mathbf{x}|}\right)^2 - 2\frac{a z}{|\mathbf{x}|^2}}} \right] \\ & = \frac{q}{\epsilon_0 4\pi \mathbf{|x|}} \left[\sum_{n,m=0}^\infty \frac{\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)}{n!m!\Gamma\left(\frac{1}{2} - n - m\right) } \left(\frac{a}{|\mathbf{x}|}\right)^{2n} \left(- 2\frac{a z}{|\mathbf{x}|^2}\right)^m \right] \ \mathrm{for\ } |a| < |\mathbf{x}| \\ &\approx \frac{q}{\epsilon_0 4\pi \mathbf{|x|}} \left[1 + \frac{az}{|\mathbf{x}|^2} + \mathcal{O}\left(\frac{a^2}{|\mathbf{x}|^2}\right)\right]\end{align}$$ где вторая строка использует теорему о полиномах. Обратите внимание, что существуют термины для каждого мультиполя, причем разложение явно выполняется до дипольного члена в последней строке.

Вы можете сделать аналогичное расширение для $|a|> |\mathbf{x}|$, чтобы получить мультипольное расширение для потенциального ближе к началу координат, чем $a$.

Добро пожаловать на сайт физиков.нет, где вы можете задавать вопросы и получать ответы от других членов сообщества.
...