Как евклидова квантовая теория поля описывает туннелирование? - физиков.нет
Купить гитару в Москве
1 голос
/

Мы знаем, что евклидово QFT происходит из интегрального пути формализма $$\langle\phi_f|e^{-\beta\hat{H}}|\phi_x\rangle.\tag{1}$$ Мы можем понять, что для $\beta\rightarrow\infty$ мы можем получить основное состояние через: $$\langle\phi_f|e^{-\beta\hat{H}}|\phi_x\rangle=\sum_n\langle\phi_f|e^{-\beta\hat{H}}|n\rangle\langle n|\phi_x\rangle\stackrel{\beta\rightarrow\infty}{=}e^{-E_0\cdot\infty}\langle\phi_f|n\rangle\langle n|\phi_x\rangle.$$

Это легко понять. Когда мы берем $\beta\rightarrow\infty$, эквивалентно, мы принимаем температуру к нулю ($\beta$ - обратная температура в функционале теплового разделения), поэтому все состояния замораживаются до основного состояния. Все это достаточно строго на мой вкус. Но во многих случаях люди говорят, что евклидово QFT также описывает туннелирование в реальном пространстве-времени Минковского, например в инстантонном контексте. Однако я никогда не видел строгого доказательства такого утверждения. QFT Минковского не связан с евклидовым QFT ни преобразованием координат, ни аналитическим продолжением:

  1. Если мы рассматриваем $t=-i\beta$ как преобразование координат, то $t$ и $\beta$ не могут быть одновременно действительными
  2. если мы рассматриваем евклидово КТП как аналитическое продолжение КТП Минковского, то $\phi(t,\vec{x})$ и $\phi(\beta,\vec{x})$ не могут быть одновременно действительными.

Я считаю, что строгий способ обращения с евклидовым КТП заключается в том, что мы будем рассматривать его просто как формализм с интегралом по траектории уравнения (1) и он получен независимо от КТП Минковского, которое получается из $$\langle\phi_f|e^{-iHt}|\phi_i\rangle.$$

Тогда, как мы можем оправдать утверждение, что евклидово КТП описывает туннелирование в пространстве-времени Минковского?

1 Ответ

2 голосов
/

Связь между туннельными и классическими путями в воображаемом времени уже можно увидеть в квантовой механике одиночной частицы . В формулировке интеграла пути каждый путь $x(t)$ вносит вклад с амплитудой $e^{iS(x)}$. Действие \ {Начинают уравнение} S (x) = \ int dt \, \ left (\ frac {m \ ddot {x}} {2} -V (x) \ right). \ Конец {} уравнение В интересующем нас случае $V(x)$ имеет барьер между точками $x_0$ и $x_1$, где должно произойти туннелирование. Предположим, что мы меняем переменные на мнимое время $\tau\in i\mathbb{R}$, такое, что $t=-i\tau$, так что \ {Начинают уравнение} S (x) = i \ int d \ tau \, \ left (\ frac {m x ''} {2} + V (x) \ right), \ Конец {} уравнение где простые числа обозначают производные по $\tau$. Теперь мы имеем дело с действием $S_E=iS$, потенциал которого между $x_0$ и $x_1$ просто скважина. Амплитуда, связанная с путем $x$, может быть записана как $e^{-S_E(x)}$. Минимум для $S_E$ - это просто действие для классического пути $x_{cl}$, поэтому основной вклад в вероятности туннелирования составляет $e^{-S_E(x_{cl})}$. Вывод:

Доминирующий вклад в вероятность туннелирования дает классический путь действия $S_E=iS$ в мнимом времени $\tau=it$.


Теперь мы можем перейти к случаю квантовой теории поля. Рассуждения очень похожи. Лагранжиан можно разбить в кинетических терминах $\mathcal{L}_{kin}$ (квадратичный по первым производным поля, для бозонов), а остальные $V$. При изменении переменных на $\tau=it\in i\mathbb{R}$ действие \ {Начинают уравнение} S (\ phi) = i \ int d ^ 4 x \ left (\ mathcal {L} ^ E_ {kin} (\ phi) + V (x) \ right) \ Конец {} уравнение * * тысяча тридцать-три

где знаки в кинетических терминах $\mathcal{L}^E_{kin}$ теперь являются знаками, соответствующими евклидовой метрике , поэтому $S_E(\phi)=iS(\phi)$ известен как евклидово действие. Таким образом, как и прежде: для переходов между полевыми конфигурациями $\phi_0$ и $\phi_1$ в постоянное время с минимальной энергией ведущий вклад даст классическое поле $\phi$ для евклидова действия.


Примечание 1: Я бы сказал, что нет проблемы с мнимой переменной $\tau$. В QFT, например, мы можем думать о наших «евклидовых полях» как определенных в пространстве $(i\mathbb{R})\times\mathbb{R}^3$, которое диффеоморфно $\mathbb{R}^4$ и для которого мы определили соответствующую метрику, которая является просто евклидовой. Итак, мы работаем над евклидовым $\mathbb{R}^4$.

Примечание 2: Этот ответ конкретно касается связи между туннелированием в пространстве Минковского и классическими путями в евклидовом пространстве. Это не относится к строгой формулировке вращения Вика, которая дается теоремой Остервальдера-Шредера, как было указано в комментариях.

Добро пожаловать на сайт физиков.нет, где вы можете задавать вопросы и получать ответы от других членов сообщества.
...