Евклидова геометрия в неинерциальной системе отсчета - физиков.нет
Винтажный Клуб для гитаристов
5 голосов
/

См. «Классическая теория полей» Ландау и Лифшица (глава 3). Рассмотрим диск радиуса R, тогда длина окружности равна $2 \pi R$. Теперь заставьте этот диск вращаться со скоростью порядка c (скорость света). Поскольку скорость перпендикулярна радиус-вектору, радиус не меняется в зависимости от состояния покоя наблюдателя. Но вектор длины на границе диска, параллельный вектору скорости, будет испытывать сокращение длины. Таким образом, $\dfrac{\text{radius}}{\text{circumference}}>\dfrac{1}{2\pi}$, когда диск вращается. Но это нарушает правила евклидовой геометрии.

Что здесь не так?

Ответы [ 5 ]

8 голосов
/

Нет, это не нарушает правила геометрии, это нарушает правила евклидова геометрия. Простой вывод: для наблюдателя, прикрепленного к диску, вращающемуся равномерно относительно инерциальной системы отсчета, пространственная геометрия неевклидова; в частности, отношение длины окружности к ее диаметру зависит как от диаметра окружности, так и от положения в центре. Для такого наблюдателя больше нет простого понятия $\pi$. Геометрия примерно такая же, как и у гиперболической плоскости, как это утверждал Калуза (который сделал необоснованное утверждение, что это именно та, что была у гиперболической плоскости). Короче говоря, ничего не так с вашими рассуждениями: это точно.

Это на самом деле мысленный эксперимент знаменитого Парадокса Эренфеста , и я обсуждаю его далее в моем ответе здесь .

Как и в Ответе Любоса , диск не может оставаться жестким, поскольку его угловая скорость возрастает от нуля до его стационарного состояния. Твердое тело (в смысле чего-то, что движется по евклидовой изометрии) - это концепция, которая совершенно несовместима с какой-либо специальной или общей теорией относительности, поскольку мы не можем ускорить твердое тело ненулевой степени: если мы толкаем его с одного конца, с другого конца расстояние $L$ далеко не может начать двигаться, по крайней мере, до времени $L/c$ позже, без нарушения специальной теории относительности. Диск должен оказаться в напряженном состоянии в его устойчивом состоянии, чтобы соответствовать геометрии, требуемой от него (как обосновано в моем другом ответе ), в противном случае он будет разрушаться или деформироваться.

В таких задачах в стационарном состоянии ( например, постоянная угловая скорость для диска) более слабое, более обобщенное понятие жесткости по Борну заменяет понятие твердого тела, которое может подвергаться Евклидовы изометрии.

По аналогичным причинам обратите внимание, что радиальная координата $r$ в метрике Шварцшильда отмечает радиальное положение, в котором окружность с центром в начале координат имеет окружность $2\,\pi\,r$. Это по определению и отличается от понятия радиуса, которое можно было бы получить, взяв контрольную точку на некотором «радиусе» $R_0$ (как измерено координатой Шварцшильда $r$) и измеряя радиальное расстояние $\Delta r$ (согласно вашим местным измерительным приборам): разница между окружностями концентрических окружностей, проходящих через две точки, не будет $2\,\pi\,\Delta r$ - «радиусы» не складываются и не вычитаются линейно и остаются связанными с соответствующей окружностью посредством постоянная $2\,\pi$. Шварцшильдская $r$ координата точки, которую вы достигаете, начиная с $R_0$ и радиально пройдя расстояние $\Delta R$, отличается от $R_0+\Delta R$. Опять же, не существует простого понятия отношения окружности к диаметру: это отношение зависит от радиуса круга и центрального положения.

8 голосов
/

Что неверно, так это идея, что на самом деле можно заставить диск вращаться; и он останется абсолютно жестким.

В действительности, этот правильный аргумент показывает, что относительность не допускает существования каких-либо совершенно твердых тел . Это совершенно простой, устоявшийся и неоспоримый учебник, который знает каждый зрелый физик. Первое предложение этого параграфа содержит ссылку на веб-сайт Gravity Probe B. Мысленный эксперимент известен как парадокс Эренфеста, и сам Эренфест уже предложил правильный базовый ответ - в теории относительности никаких жестких объектов не было - когда он изложил мысленный эксперимент в 1909 году.

Когда кто-то берет твердый диск и заставляет его вращаться, он делает все, что происходит в результате "несовершенства материала". Он разорвется центробежной силой, а если нет, то будет либо разорваться в основном по радиальным линиям, либо согнется (диск больше не будет плоским), потому что окружность действительно сокращается из-за коэффициента Лоренца. Если бы существовал материал, который является абсолютно жестким и не может растягиваться, изгибаться или разрываться, то было бы невозможно заставить его вращаться. В любом мире, управляемом относительностью, правильные расстояния между отдельными точками / атомами объектов просто должны измениться, когда объект приводится в движение. (Определение жесткости с использованием постоянных собственных расстояний между точками / атомами объекта было дано Максом Борном в 1909 году и известно как жесткость Борна.)

Однако несуществование такого материала может быть показано даже под микроскопом. Невозможно «упорядочить» любой твердый объект, чтобы каждый раз сохранять правильные расстояния, потому что расстояние между двумя атомами (или точками на твердом объекте) может быть измерено только с задержкой $\Delta t = \Delta x / c$ просто потому, что никакая информация не может двигаться быстрее чем свет. Вот почему всегда возможно сжать любой стержень на одном конце, и противоположный конец стержня не будет двигаться по крайней мере для этого $\Delta t = \Delta x / c$. На эту взаимосвязь между «ограниченной скоростью сигналов $c$» и «несуществованием жестких объектов в теории относительности» уже указывал Макс фон Лауэ в 1911 году.

На самом деле, задержка будет намного больше, чем это, в основном, определяется скоростью звука, а не скоростью света. Какой бы материал у вас ни был, относительность гарантирует, что его можно сжать, растянуть и согнуть.

3 голосов
/

Это опять же относительность одновременности. Подобная вещь случается, если у вас есть куча космических кораблей в линии, которые запускают свои двигатели в определенное время. Различные наблюдатели не согласятся с тем, стреляли ли они одновременно, и не согласятся с расстоянием между ними. Всегда последовательным образом.

Так что я хотел бы обратиться к концепции геометрии, не имея диска. Представьте себе большой участок пустого пространства. Затем поместите один корабль в центр кольца других кораблей. Все в покое. Все синхронизируют свои часы. Все корабли идентичны.

Они могли бы сделать кольцо радиусом один светлый год. И они могут быть разнесены примерно на расстоянии около 100 м друг от друга. Сейчас все в покое, и никто ни с чем не согласен.

Поскольку часы синхронизированы, они могут сидеть и ждать несколько лет, чтобы подтвердить, что все находятся на своем месте, а затем, согласно заранее подготовленным планам, корабли на ринге могут запускать ракеты, чтобы двигаться по кругу, пока они не достигнут заданной скорости. (оборотов в секунду) и если вы думаете, что они не могут определить свои обороты в секунду, мы могли бы обозначить буи по кругу, чтобы они знали, какие буи они пропускают, когда они проходят. Или они могут просто следовать согласованной схеме тяги, и это может быть план, который просто ведет к наблюдателю в центре, который говорит, что он движется с фиксированной скоростью.

Когда они достигают конечной скорости, они переходят в режим стрельбы, чтобы заставить их двигаться по кругу с постоянной скоростью (буи за надлежащее время, обороты в секунду или просто пожарный двигатель, как запрограммировано, так что центральный наблюдатель говорит, что он находится на постоянной скорости). скорость).

Таким образом, они изначально думали, что они равномерно распределены по кругу на расстоянии около 100 метров друг от друга, и что сначала они одновременно запускали двигатели. Но когда они начинают ускоряться, сопутствующие кадры кораблей на ринге больше не соглашаются с тем, что корабли делают свои ходы одновременно. Они думают, что корабль, который первоначально был самым дальним, например, выполняет свои маневры в замедленном режиме, например.

Центральный наблюдатель инерционен, и каждый кольцевой корабль выполняет одинаковые движения, каждый из которых выпускает свои ракеты наружу с одинаковой скоростью и вращается с одинаковой угловой скоростью.

Кольцевые корабли не являются инерционными. Они могут использовать время радара и расстояние радара, чтобы не допустить скачкообразных изменений в том, как они измеряют расстояния до времени разделенных событий, и те, которые приводятся к инерциальным координатам, когда они движутся по инерции. Или в каждый момент мы можем рассмотреть мгновенно сопутствующую инерциальную систему отсчета. Но дело в том, что эти кадры для кольцевых кораблей не наблюдают, как другие корабли используют свои ракеты таким же образом. Они согласны с тем, что надлежащее время на судах, зафиксированное бортовыми кораблями, имеет те же показания, когда органы управления двигателями имеют одинаковые настройки. Они согласны с тем, что субъективный опыт каждого корабля такой же, как у них (за исключением ярлыков буев, если вы их используете). Но то, что они наблюдают в соответствии с мгновенно движущимся кадром, не фиксирует, что другие корабли делают то же самое в одно и то же время (время в соответствии с мгновенно движущимся кадром).

Это не отличается от кораблей в линии, которые ускоряются с фиксированным графиком в соответствии с бортовыми часами (скажем, выстреливание одной ракеты за первую минуту, затем две, затем три, а затем два, затем только одна ракета, а затем ни одной). В линейной версии они наблюдают, как те, кто позади, ускоряются позже, а те, что впереди, ускоряются рано. Это не изменение геометрии. Это каждый корабль, идущий по изогнутой траектории, и каждый из которых имеет сопутствующую инерциальную систему отсчета, плоскость которой одновременно пересекает мировые линии других кораблей в разных точках их пути.

Ничего странного не происходит. Если ваш сопутствующий инерционный кадр наблюдает, как ваши соседние корабли запускают свои ракеты не так, как ваш, тогда, конечно, этот кадр вычисляет расстояние между событиями в этой гиперплоскости одновременности, чтобы быть разными.

Но нет изменений в геометрии. Существует плоская геометрия Минковского. Кольцевые корабли не движутся по инерции, а сопутствующие инерциальные системы не наблюдают, как другие корабли движутся по кругу, даже если это делает инерционный центральный наблюдатель.

Вы можете сделать ускорение до скорости за один гигантский импульс, а затем есть две подходящие рамки для этой точки. Предварительно импульсная рамка и постимпульсная рамка.

0 голосов
/

У меня возникает соблазн дать точку зрения экспериментатора, хотя, конечно, я согласен с ответами Любоса и Саваны.

Рассмотрим диск радиуса R, тогда окружность равна 2πR. Теперь заставьте этот диск вращаться со скоростью порядка c (скорость света).

Здесь очевидно, что вы определяете систему центра масс для диска и человека / машины, которые будут давать ему угловое ускорение для достижения скорости, близкой к скорости света. Таким образом, вы неявно определяете классическое твердое тело.

Но базовый уровень природы - квантово-механический. На этом уровне каждый атом связан с другим атомом / молекулой посредством электромагнитных сил, которые выполняют уравнения квантовой механики, а не классической механики.

Аналогом является то, как если бы все эти атомы / молекулы были связаны друг с другом пружинами, которые при малых ускорениях (ускорение передает электромагнитные силы на атомном уровне, отсюда и скорость света), а на классических расстояниях и скоростях являются жесткими таким образом, мы имеем классические твердые тела, но когда ускорения возрастают, никакое моделирование твердого тела не может работать. Классическая модель диска с пружинами также показала бы деформации его формы.

Таким образом, нельзя применять евклидову геометрию к системе, где даже трудно определить центр масс, к которому могут применяться специальные преобразования относительности. На каждом радиусе получают разные силы, и невозможно определить общую систему центров масс, где форма диска будет круговой, так как на каждом радиусе применяются разные силы, а вращательная деформация неизбежна.

0 голосов
/

Для тех, кто движется по краю диска, длина диска сокращается в направлении движения. Так что для них это не круг, нет проблем с геометрией.

Евклидова геометрия верна только для инерциальной плоскости одновременности. К концу этого ответа вы должны знать, когда и как использовать евклидову геометрию и что это значит (или нет). И набор объектов, которые вместе выглядят как равномерно вращающийся диск в одном кадре, не будет похож на другой инерциальный кадр. Так что это не диск в другом кадре.

Представьте себе мировые линии частей вращающегося диска. Нарисуйте время как вертикальная ось. В кадре центра мировая линия центра является вертикальной. В кадре центра остальные части идут в виде спиралей. В центре кадра возможно, чтобы все детали шли по кругу (для этого необходимо приложить силы к деталям, но так вращаются и настоящие диски).

Теперь в инерциально движущейся системе отсчета гиперплоскость одновременности наклоняется так, что пространственное начало кадра составляет угол, равный 45-градусному световому конусу, как это делает словесная линия наблюдателей. И это векторы в этой плоскости одновременности, где имеет место евклидова геометрия. (Геометрия Минковкси имеет место везде, но она сводится к евклидовой геометрии в пространственно-подобной плоскости одновременности.)

В таком кадре, который мгновенно сопрягается с какой-то частью диска, диск представляет собой объект, который на чертеже выглядит как растянутый круг (мы прямо сейчас перейдем к геометрии, я хочу, чтобы вы увидели, какими событиями мы являемся говорить в пространстве-времени). Пересечение мировых линий объекта с гиперплоскостью одновременности каркаса похоже на разрез цилиндра с плоскостью, проходящей через центр цилиндра. Только одна плоскость дает круглое поперечное сечение, то есть каркас центра вращения.

Теперь вы знаете, где применяется евклидова геометрия и к чему она относится. Из диаграммы пространства-времени видно, что все эти маленькие векторы находятся в некоторой плоскости одновременности. И они отслеживают разные события для разных плоскостей.

Если вместо прямого перехода к евклидовой геометрии, которая имеет место только для событий в некоторой гиперплоскости одновременности для некоторой инерциальной системы отсчета, вы можете говорить о геометрии пространства-времени. Это всегда для событий. Например, мировая линия частицы состоит из событий, так что вы можете найти подходящее время для такой кривой между двумя событиями. Или вы можете говорить о кривой пространственно-подобных точек в некоторой плоскости одновременности и найти их правильную длину. И тогда вы получите ту евклидову окружность, о которой мы говорили. Но не для круга, если вы не выберете один кадр, где это круг.

Но если вы сравните эти пространственноподобные кривые в плоскости одновременности, то они будут явно разными событиями для разных систем отсчета, следовательно, для разных кривых, поэтому нет оснований ожидать, что они будут одинаковыми по окружности. Мы разрабатываем интуицию для правильной геометрии Минковского, чтобы знать, когда и если мы можем использовать евклидову геометрию.

Для разных точек на краю диска вы получаете разные плоскости одновременности, каждая из которых образует равный угол с световым конусом, как и мировая линия с световым конусом на этом событии. Таким образом, каждая точка на краю и каждый раз создает разные сопутствующие кадры.

Я обещал поговорить с геометрией, а ты спросил о сокращении длины.

Если у вас есть стержень в состоянии покоя, то его мировые линии идут прямо вверх, но при движении наблюдайте, как концы стержня являются пересечением мировых линий концов с гиперплоскостью одновременности. Сегмент линии может выглядеть длиннее на чертеже. Но это короче метрически. Это потому, что когда мы говорим, что плоскость одновременности евклидова, это означает, что в плоскости есть три независимых вектора, которые имеют длину положительной единицы и охватывают плоскость. С их точки зрения, все евклидово. Но мы должны знать, какие три вектора являются единичными ортогональными векторами.

Если единичные векторы на плоскости (скажем, на плоскости xy) указывают в двух направлениях, то мы можем нарисовать время как ось z. Затем для кадра, движущегося в направлении x, единичный вектор y по-прежнему является единичным пространственным вектором, но теперь вектор, который для первого кадра выглядит так, как будто он указывает на будущее, а в направлении x теперь является пространственным вектором (живет в гиперплоскости одновременности). И это вектор, который выглядит длиннее в исходном чертеже, который имеет единицу длины.

Таким образом, дело в том, что пространственно-подобные векторы, которые выглядят достаточно длинными в одном кадре, могут иметь длину единицы. Пространственно-подобные векторы, имеющие единичную длину, можно записать как имеющие хвосты в начале координат и заголовки в $(\sqrt{x^2+y^2+z^2-1},x,y,z),$, которые выглядят как гиперболоид. Дело в том, что те векторы, которые на чертеже близки к световому конусу, по-прежнему имеют единичную длину, даже если они выглядят длинными.

В кадре с точкой на краю направление, которое выглядит вытянутым, когда вы рисуете все в кадре центра, фактически ближе друг к другу. Это потому, что эти события, если вы проследите их вдоль гиперболоида пространственно-подобных векторов одинакового размера из центра диска, в конечном итоге окажутся меньше, чем пространственно-векторные векторы, идущие в другие точки, а самые большие по размеру будут просто нормального размера, которые не не меняются при смене кадров.

Таким образом, если вы двигаетесь в направлении x, то ваш диск имеет одинаковую длину от конца до конца от $R\hat y$ диска до конца $-R\hat y$ диска, но в другом направлении он короче. Это для кадра, соединяющегося с этой одной точкой края в этот момент.

Но в этом кадре объект, который является диском в одном кадре, не является диском. Таким образом, вы не ожидаете, что формула для круга будет находиться в другом кадре, если вы не применяете ее к кругу. И все равно вы измеряете разные события.

Добро пожаловать на сайт физиков.нет, где вы можете задавать вопросы и получать ответы от других членов сообщества.
...