Есть ли какая-то физическая интуиция за алгебрами Клиффорда? - физиков.нет
Купить гитару в Москве
6 голосов
/

Математически строгое определение алгебры Клиффорда выглядит следующим образом:

Пусть $V$ - векторное пространство над полем $\mathbb{K}$, а $Q : V\to \mathbb{K}$ - квадратичная форма на $V$. Алгебра Клиффорда $C\ell(V,Q)$ является унитальной ассоциативной алгеброй над $\mathbb{K}$ вместе с линейным отображением $i: V\to C\ell(V,Q)$, удовлетворяющим $i(v)^2=Q(v)1$ для всех $v\in V$, определяемым следующим универсальным свойством: для любой ассоциативной алгебры $A$ над $\mathbb{K}$ и любое линейное отображение $j: V\to A$ такое, что $j(v)^2=Q(v)1_A$ для всех $v\in V$, существует уникальный гомоморфизм алгебры $f : C\ell(V,Q)\to A$ такой, что $f\circ i = j$.

Как определение, это хорошо. Затем мы увидим, как построить эти объекты и доказать результаты и т. Д.

Моя точка зрения такова, что алгебры Клиффорда, кажется, очень важны в физике. Просто для примера, они появляются в определении спиноров. Но я считаю, что мне кажется, что их упоминают в других контекстах.

Что я хочу спросить: относительно важности алгебр Клиффорда в физике, есть ли какая-то хорошая интуиция за ними? Хотя я могу математически понять это определение и использовать его, у меня не может быть никакой интуиции. Есть ли физическая интуиция в алгебре Клиффорда?

Ответы [ 2 ]

3 голосов
/

Часто приятно думать о натуральных числах как о подмножестве целых чисел. И думать о целых числах как о подмножестве рациональных чисел. Рациональные числа как подмножество алгебраических. Алгебраическое как подмножество вещественных чисел.

А некоторым людям даже нравится думать о реальных событиях как о подмножестве комплекса.

Но там происходит много вещей, поскольку все эти числа используются как объекты и как операции. Но имейте в виду, что приятно иметь детскую площадку, где все ваши игрушки уже есть.

Теперь давайте введем физику. В физике вам не нужно использовать $\mathbb R^3$, технически вы можете использовать что-либо биективное с этим в качестве модели. И то же самое для пространства-времени, вам не нужно использовать $\mathbb R^4$, потому что все биективное может сработать. В качестве векторного пространства вы можете отобразить сложение вектора и масштабирование скалярами. Но если вы хотите соблюдать метрику, этого будет недостаточно.

Когда у вас есть метрика, вы также можете говорить о гиперплоскостях и векторах, ортогональных к ним. Возможно, вы захотите поговорить о плоскости, натянутой на два вектора. Возможно, вы захотите поговорить о трехмерном подпространстве, охватываемом тремя векторами. Возможно, вы захотите поговорить об отражении поперек гиперплоскости, ортогональной вектору.

Так много объектов и много операций. И точно так же, как вам понравилось иметь большую алгебру, содержащую ваши меньшие алгебры, так что вы можете захотеть иметь алгебру, в которой все может жить.

Математик скажет, что что-то не является вектором, если вы не можете добавить это. И даже если вы можете добавить это, они скажут, что это просто группа, если вы не можете также масштабировать ее с помощью скаляра. Но векторы являются лишь подмножеством полной многовекторной алгебры. И они даже не подалгебра. Так что они на самом деле не являются законченной системой. Единственный способ, которым вы могли бы закончить, это если вы притворяетесь, что не можете их умножить.

По этому стандарту мнимые числа являются просто векторным пространством, потому что вы можете притворяться, что не можете умножить их.

Но в физике у нас есть такие вещи, как спин и угловой момент, а также магнитные поля, которые действительно требуют плоскостей для их описания. А в теории относительности вы должны признать плоскости новыми объектами, потому что в 4d плоскость 2d не является гиперплоскостью, поэтому вы не можете просто указать на некоторые векторы и дать им другое имя.

Итак, нам нужны скаляры, нам нужны векторы, а также плоскости. Это жизнь и геометрия.

Если мы представим все эти объекты, то сможем поговорить об их отношениях. Но каждый из них иногда является объектом, а иногда и оператором. Прямо как матрицы. Квадратная матрица может умножить другую квадратную матрицу, рассматривая другую как объект, когда эта матрица сама может быть оператором.

Вот что такое алгебра в принципе.

Итак, вы хотите, чтобы ваши объекты и ваши операции. Фактически большинство объектов могут быть просто преобразованиями ссылочных объектов. И квадратичная форма просто пытается указать метрику, которую должны соблюдать преобразования, операции. Который в конечном итоге дает вам полную алгебру.

Таким образом, набор произведений векторов является естественным как набор операций. Полная алгебра точно не нужна, но она может быть полезна в качестве основы.

0 голосов
/

Мне нравится предмет вопроса, который я часто обдумывал.

Ответ Тимея очень поучителен.

Мой собственный, гораздо более короткий, но, возможно, даже более интуитивный ответ (конечно, на мой пользовательский недостаток опыта) на вопрос пользователя 1620696 состоит в том, что алгебры Клиффорда просто кодируют многих других аспектов (т. Е. способы описания) свойств линейных пространств - в частности, комбинации вращений со стандартными векторами (смещениями).

Мое упоминание о вращениях, вероятно, эквивалентно тому, что Тимей рассматривает как плоскости и гиперплоскости.

Комментарии и исправления приветствуются.

Добро пожаловать на сайт физиков.нет, где вы можете задавать вопросы и получать ответы от других членов сообщества.
...