Равномерно заряженное электрическое поле стержня - физиков.нет
Купить гитару в Москве
1 голос
/

Равномерно заряженный стержень длиной $L$ и общим зарядом $Q$ расположен вдоль оси $x$, как показано на рисунке . (При необходимости используйте следующее: $Q$, $L$, $d$ и $k_e$.)

(a) Найдите компоненты электрического поля в точке $P$ на оси $y$ на расстоянии $d$ от начала координат. $E_x=\,?$, $E_y=\,?$

Я думаю, что приближаюсь к решению (возможно), но я все время оборачиваюсь и растерялся. Это то, что я до сих пор. Итак, я знаю, что мне нужно $\lambda=Q/L$ и $r=\sqrt{d^2+L^2}$. Моей первой мыслью было, что мне нужна формула $$E=\int_0^L \dfrac{\lambda \,k_e}{x^2}dx$$, но потом я сталкиваюсь с проблемой, когда я интегрируюсь и должен оценить $\dfrac{-\lambda k_e}{x}$ при $x=0$. Затем я попытался интегрировать компоненты $x$ и $y$ отдельно по отношению к $\theta$. На втором слайде я нашел следующие формулы на этом сайте .

$$E_x=\frac{-k_e\lambda}{L}(\sin\theta_2-\sin\theta_1)$$

$$E_y=\frac{-k_e\lambda}{L}(\cos\theta_2-\cos\theta_1)$$

Где, для этой задачи, $\theta_1=0$ и $\theta_2$ - это угол, когда x = L, так что $\tan^{-1}(\frac{d}{L})$, и именно здесь я действительно потерялся. Эти формулы подходят для этой проблемы? У меня была мысль использовать обратный грех и cos вместо tan для $\theta_2$, но это делало формулы действительно грязными. Это онлайновая заявка, поэтому я предполагаю, что она должна превратиться в нечто приятное, но я не могу до нее добраться.

Ответы [ 2 ]

1 голос
/

Часто самым простым способом решения таких проблем является использование потенциала, а не электрического поля. И всегда лучше всего использовать соответствующие координаты. В этом случае цилиндрические координаты со стержнем в $\rho=0$ и продолжающиеся от $z=-L/2$ до $z=+L/2$ являются естественными.

Итак, вы говорите, что для элемента стержня с крошечной длиной $d\ell$ и зарядом $\frac{Q}{L}d\ell$, расположенным в $0,z,\theta$ (где $\theta$ на самом деле является спорным с $\rho = 0$), потенциал в любом другая точка $(r,\zeta, \theta)$ ос $$\frac{Q}{L\sqrt{r^2 + (z-\zeta)^2}}d\ell$$.

Тогда потенциал всего стержня $$ V(r,\zeta, \theta) =\int_{z=-L/2}^{+L/2} \frac{Q}{L\sqrt{r^2 + (z-\zeta)^2}}d\ell$$

Затем вы делаете интеграл, и когда вы получаете $V(r,\zeta, \theta)$, вы берете его градиент, потому что отрицательным значением градиента будет электрическое поле.

ВНИМАНИЕ: оператор градиента в цилиндрических координатах не совсем $(\frac{\partial}{\partial \rho},\frac{\partial}{\partial z},\frac{\partial}{\partial \theta})$. Узнайте, что это такое, затем примените его к вашему $V$. И не забывайте конвертировать поле обратно, чтобы получить $(E_x, E_y, E_z$, если ваша проблема их запрашивает.

Чтобы узнать о цилиндрических координатах, Википедия - ваш друг

0 голосов
/

Сначала я должен спросить: упоминает ли вопрос что-нибудь о расстоянии d ? Причина, по которой я спрашиваю, состоит в том, что если d достаточно велико, мы можем сказать, что оно находится в дальней зоне, и мы можем легко аппроксимировать значения поля, используя электростатическую теорию, рассматривая стержень как точечный заряд * 1005. * Q . Позже я предоставлю правку, если вы хотите использовать приближение дальнего поля.

Добро пожаловать на сайт физиков.нет, где вы можете задавать вопросы и получать ответы от других членов сообщества.
...