Каково значение безразмерной константы связи? - физиков.нет
Купить гитару в Москве
4 голосов
/

В предисловии к книге QFT Марка Средницкого (онлайн-черновую версию можно найти здесь http://web.physics.ucsb.edu/~mark/qft.html), Марк упоминает, что теория $\phi^3$ в 6 измерениях была бы отличной моделью для педагогических целей, поскольку константа связи безразмерная.

Так почему же безразмерная константа связи имеет значение? Примечательно, что $\phi^4$ также безразмерен в 4 измерениях, но я едва слышал упоминание об этом.

1 Ответ

11 голосов
/

Все это связано с перенормировкой.

Квантовые теории поля, как правило, страдают от ультрафиолетовых расходимостей. Эти неприятные артефакты наших идеализаций возникают из-за нашего желания включить в картину произвольные кратковременные флуктуации. Другими словами, если мы доверяем нашему КТП на произвольных коротких масштабах (что, вероятно, не следует), бесконечности появляются как результаты расчетов амплитуд корреляции, и теория теряет смысл.

В течение первой половины 20-го века была разработана определенная техника для преодоления этих ультрафиолетовых расхождений. Он состоит из двух этапов:

  1. Регуляризация: мы надеемся изменить оригинальную теорию таким образом, чтобы она была конечной и напоминала оригинальную теорию в некотором пределе. Например, можно использовать отсечение импульса путем искусственного исключения мод Фурье с большим импульсом: $\omega^2 + p^2 > \Lambda^2$, где $\Lambda$ называется отсечением импульса и имеет размерность энергии или обратную длину. Первоначальная теория восстановлена ​​в пределе $\Lambda \rightarrow \infty$.

  2. Перенормировка: теперь, когда у нас есть теория, которая имеет смысл, развернулась умная идея. Обычно мы допускаем, чтобы несколько параметров в лагранжиане, такие как константы связи, зависели от $\Lambda$. Это позволяет компенсировать изменение $\Lambda$ изменением этих параметров таким образом, что предел $\Lambda \rightarrow \infty$ становится невырожденным. Физическая теория тогда определяется как предел таких теорий. Если этот шаг может быть выполнен последовательно, теория называется перенормируемой. В противном случае он называется пертурбативно ненормализуемым.

Теперь наступает важная часть, которая часто неправильно понимается. Мы не просто избавились от бесконечности, мы пересмотрели теорию. Теория, определенная таким образом, не эквивалентна (бесконечной, несуществующей) теории с исходным лагранжианом. В частности, он не обладает определенными симметриями исходного лагранжиана, в частности, масштабной симметрией.

Рассмотрим пересчет координат пространства-времени. Определенная выше теория ведет себя нетривиально при таких пересчетах, которые называют действием перенормировочной группы. Фактически, мы могли бы классифицировать все КТП по трем категориям:

  • Соответствующие муфты имеют положительные размеры массы, такие как $\phi^4$ в 3d. Они уменьшаются по мере приближения к ультрафиолетовому режиму, так как отсечка $\Lambda$ становится фактически меньше по сравнению с нашей увеличивающейся шкалой энергии, поэтому взаимодействие становится неважным. В качестве альтернативы, связь увеличивается, когда мы приближаемся к инфракрасной области (большие колебания). Таким образом, такие взаимодействия будут проявляться в больших масштабах.

  • Нерелевантные муфты имеют отрицательные размеры массы, как $\phi^4$ в 5d. В отличие от первого случая, они увеличиваются по мере приближения к ультрафиолетовой области, но не имеют значения (так называется) в больших масштабах. Обратите внимание, что теория возмущений разрушается в ультрафиолете, так как связь разрушается, и мы больше не можем считать ее малой и расширяющейся по своим силам. Такие теории всегда ненормируемы. Общая теория относительности возмущений относится к этой категории теорий.

  • Третья категория относится к "маргинальным" муфтам с нулевым измерением массы, как $\phi^4$ в 4d. В этом случае поведение связи в УФ и ИК полностью определяется квантовыми флуктуациями и не может быть выведено из простого размерного анализа. Например, КЭД взрывается в ультрафиолетовом свете (он же проблема полюса Ландау), в то время как неабелевы калибровочные теории с компактными калибровочными группами асимптотически безопасны. Эти теории могут быть перенормируемыми, а также не перенормируемыми.

В заключение: безразмерные связи наиболее интересны, поскольку они могут привести к перенормируемым теориям. Кроме того, связи с отрицательным измерением массы не имеют значения в инфракрасной области и всегда пертурбативно не перенормируются (хотя иногда они могут иметь смысл непертурбативно, лучшим примером, вероятно, является общая теория относительности в 3 измерениях пространства-времени). Я надеюсь, что это отвечает на ваш вопрос.

Добро пожаловать на сайт физиков.нет, где вы можете задавать вопросы и получать ответы от других членов сообщества.
...