Два определения функции Грина - физиков.нет
Винтажный Клуб для гитаристов
16 голосов
/

В литературе обычно существует два типа определения функции Грина.

  1. $\hat{L}G=\delta(x-x')$. Это уравнение утверждает, что функция Грина является решением ODE, предполагая, что источником является дельта-функция

  2. $G=\langle T\psi(x_1,t_1)\psi^\dagger(x_2,t_2)\rangle$. Это определение гласит, что функция Грина является чем-то вроде пропагатора .

Я хочу знать внутреннюю связь между этими двумя определениями.

Ответы [ 3 ]

14 голосов
/

Во-первых, термин «пропагатор» обычно определяется как функция Грина первого типа, а не второго типа, то есть как решение дифференциального уравнения $\hat L G = \delta$.

В любом случае, эти определения в конечном итоге эквивалентны - когда детали записаны правильно - потому что функция Грина, определенная как коррелятор во втором определении, подчиняется первому дифференциальному уравнению.

Дифференциальный оператор $\hat L$ - это то, что появляется в линеаризованных уравнениях движения для поля, в данном случае $\psi(x_1,t_1)$, и действует только на $\psi(x_1,t_1)$, а не $\psi^\dagger (x_2,t_2)$.

Оператор упорядочения по времени $T$ может быть записан в терминах функции шага $$ T(\psi \psi^\dagger) = \psi \psi^\dagger\cdot \theta(t_1-t_2) - \psi^\dagger \psi\cdot\theta(-t_1+t_2)$$ где $\psi$ всегда на $x_1,t_1$ и $\psi^\dagger$ на $x_2,t_2$. Теперь спросите, что происходит, когда вы действуете с $\hat L$ справа от отображенного уравнения выше.

По правилу Лейбница существуют условия с $\hat L \psi = 0$. Исчезает по уравнениям движения. Но есть дополнительные термины, в которых $\hat L$ действует на пошаговые функции.

Оператор $\hat L$ содержит термин, который дифференцируется по отношению к $t_1$, умноженному на коэффициент $C$. Это превращает $\theta(t_1-t_2)$ в $\delta(t_1-t_2)$. То же самое происходит в следующем семестре, но с противоположным знаком, который отменяет знак, который уже был там. Таким образом, дополнительные условия $$ \hat L T(\psi \psi^\dagger) = C\delta(t_1-t_2) (\psi \psi^\dagger + \psi^\dagger \psi)$$ Я получил два условия, потому что было два условия. Однако эти два термина в точности объединяются с антикоммутатором $\psi$ и $\psi^\dagger$, который нужно оценивать только для $t_1=t_2$, антикоммутатора с равным временем, и в результате получается $D\cdot \delta(x_1-x_2)$.

Вот почему действие $\hat L$ на коррелятор заканчивается как $CD\delta(t_1-t_2)\delta(x_1-x_2)$, где константы $C,D$ являются в основном просто факторами $i$ и т. Д.

Для бозонных полей $\hat L$ имеет вторую производную по времени. Одна из производных имеет судьбу, как указано выше, другая превращает другую $\phi$, которая играет роль $\psi^\dagger$, в $\partial_t \phi$, которая является каноническим импульсом, и это правильная переменная, которая имеет $\delta$ -подобный коммутатор. Кроме того, промежуточный знак противоположен, но результат тот же, некоторые $CD\cdot\delta\cdot\delta$.

4 голосов
/

Если вы подключите пропагатор к уравнению движения, вы получите функцию $\delta$. Второе «определение» - это просто рецепт для вычисления функции Грина в теории свободного поля.

0 голосов
/

Другой способ найти эквивалентность состоит в том, чтобы выразить функцию Грина через решения уравнений - запишите ее спектральное представление: $$G(x_1,x_2,t_1,t_2)=\sum_n \psi^*_n(x_1)\psi_n(x_2)e^{iE_n(t_1-t_2)}$$ или что-то в этом роде.

Добро пожаловать на сайт физиков.нет, где вы можете задавать вопросы и получать ответы от других членов сообщества.
...