Разложение тензора кручения - физиков.нет
Винтажный Клуб для гитаристов
3 голосов
/

См. Обновление ниже.

Рассмотрим тензор кручения $T_{\mu\nu\rho} = -T_{\mu\rho\nu}$. В локальном фрейме Лоренца, который определяется по вирбейну $e^{a}{}_{\mu}$, он может быть эквивалентно задан как $T_{abc} = e^{\mu}{}_{a}e^{\nu}{}_{b}e^{\rho}{}_{c}T_{\mu\nu\rho}$. При преобразованиях Лоренца этот тензор Лоренца третьего ранга в \ {Начать выравнивать} (\ frac {1} {2}, \ frac {1} {2}) \ otimes ((1,0) \ oplus (0,1)) = (\ frac {1} {2}, \ frac {1 } {2}) \ oplus (\ frac {3} {2}, \ frac {1} {2}) \ oplus (\ frac {1} {2}, \ frac {1} {2}) \ oplus ( \ гидроразрыва {1} {2}, \ гидроразрыва {3} {2}) \ Конец {} Align Представление Лоренца. Два $(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$ соответствуют векторной и аксиальной векторным частям, соответственно, заданным $V^{def}_{abc}T_{def}$ и $A^{def}_{abc}T_{def}$, представляя следующие проекционные операторы (каждый явно антисимметричный как в $bc$, так и $ef$): \ {Начать выравнивать} V ^ {def} _ {abc} & \ экв \ frac {1} {6} \ eta ^ {de} (\ eta_ {ab} \ delta ^ {f} _ {c} - \ eta_ {ac} \ delta ^ {f} _ {b}) - \ frac {1} {6} \ eta ^ {df} (\ eta_ {ab} \ delta ^ {e} _ {c} - \ eta_ {ac} \ delta ^ { e} _ {b}), \\ A ^ {def} _ {abc} & \ экв \ frac {1} {6} \ delta ^ {def} _ {abc}, \ Конец {} Align где $\eta_{ab}$ - метрика Минковского, а $\delta^{def}_{abc}$ - обобщенная дельта Кронекера. Часть $(\frac{3}{2},\frac{1}{2}) \oplus (\frac{1}{2},\frac{3}{2})$ задается как $Q^{def}_{abc}T_{def} \equiv T_{abc} - (V^{def}_{abc} + A^{def}_{abc})T_{def}$, определяя оператор проекции $Q^{def}_{abc}$. Я проверил, что $V^{def}_{abc}$, $A^{def}_{abc}$ и $Q^{def}_{abc}$ вместе образуют правильную проекционную алгебру в отношении идемпотентности, ортогональности и полноты. Но мой вопрос заключается в следующем:

Вопрос: Как, если это возможно, можно индивидуально спроецировать $(\frac{3}{2},\frac{1}{2})$ и $(\frac{1}{2},\frac{3}{2})$? Каковы, если таковые имеются, операторы проекции? Если возможно, требуется ли переход в комплексную область, по аналогии с разложением, скажем, тензора Фарадея на самодуальные и антимидуальные части $(1,0)$ и $(0,1)$?

Я спрашиваю, потому что я не могу идентифицировать форму любых таких операторов проекции. Я попытался использовать тензор Леви-Чивиты для построения некоторых самодвойственных и анти-самодвойственных операторов проекции (над комплексной областью), сжимаясь вдвое по двум последним индексам $Q^{def}_{abc}T_{def}$, но полученные операторы даже не индивидуально идемпотентная.

PS: Любая уместная или полезная ссылка, конечно, будет оценена.

Обновление: Мне кажется, я решил это сам. Я считаю, что востребованные операторы проецирования, скажем, $(Q_{\pm})^{def}_{abc}$, проецирующие $(\frac{3}{2},\frac{1}{2})$ и $(\frac{1}{2},\frac{3}{2})$, соответственно, задаются как

\ {начать выравнивать} (Q _ {\ pm}) ^ {def} _ {abc} = \ frac {1} {2} Q ^ {def} _ {abc} \ pm (D_ {1}) ^ {def} _ {abc} \ pm (D_ {2}) ^ {def} _ {abc}, \ Конец {} выравнивание

коррелированные знаки, где

\ {начать выравнивать} (D_ {1}) ^ {def} _ {abc} & \ экв \ frac {i} {6} \ varepsilon_ {bc} {} ^ {ef} \ delta ^ {d} _ {a}, \\ (D_ {2}) ^ {def} _ {abc} & \ экв \ frac {i} {12} (\ varepsilon_ {ab} {} ^ {de} \ delta ^ {f} _ {c} - \ varepsilon_ {ac} {} ^ {de} \ delta ^ {f} _ {b} - \ varepsilon_ {ab} {} ^ {df} \ delta ^ {e} _ {c} + \ varepsilon_ {ac} {} ^ {DF} \ Delta ^ {е} _ {Ь}). \ Конец {} выравнивание

Что касается других проекционных операторов в этом посте, эти проекционные операторы были записаны в форме, в которой они явно антисимметричны как $bc$, так и $ef$.

1 Ответ

1 голос
/

Возможно, я не совсем понимаю ваш запрос, но я думаю, что довольно легко разложить тензор кручения. Поскольку $T_{cab} = -\: T_{cba}$, вы получаете $4 \times 6 = 24$ независимых компонентов в 4D пространстве-времени. Вы можете извлечь (или определить ) два независимых вектора, которые дают вам 8 компонентов (глобальная константа частично произвольна. Я использую соглашение $\eta = (1, -1, -1, -1)$): \ {Начать выравнивать} v_a & \ экв - \: \ frac {1} {3} \: \ eta ^ {bc} \, T_ {cab}, \ quad \ text {векторная часть} \ tag {1} \\ [12pt] \ tau ^ a & \ экв \ frac {1} {3!} \: \ varepsilon ^ {abcd} \, T_ {bcd}. \ quad \ text {псевдовекторная или осевая часть} \ tag {2} \ Конец {} Align Тогда осталось 16 компонентов, сгруппированных в бесследный тензор $\mathcal{T}$: \ {Начать выравнивать} T_ {cab} & = T_ {cab} ^ {\ mathrm {V}} + T_ {cab} ^ {\ mathrm {A}} + T_ {cab} ^ {\ mathrm {T}} \\ [12pt] & = (\ eta_ {ac} \, v_b - \ eta_ {bc} \, v_a) + \ varepsilon_ {abcd} \, \ tau ^ d + \ mathcal {T} _ {cab}. \ Тег {3} \ Конец {} Align Большинство авторов предполагают, что бесследная тензорная часть исчезает: $\mathcal{T}_{cab} = 0$, но это не в самом общем случае.

Добро пожаловать на сайт физиков.нет, где вы можете задавать вопросы и получать ответы от других членов сообщества.
...