Расчет ускорения и т. Д. Зубчатой ​​передачи с несколькими ведомыми передачами - физиков.нет
Винтажный Клуб для гитаристов
0 голосов
/

Я пишу базовую симуляцию зубчатой ​​передачи, где можно прикрепить каждую шестерню к источнику крутящего момента / углового трения. Все онлайн-ресурсы, которые я нашел, имеют дело только с системами, в которых одиночная шестерня приводится в действие, а все остальные просто принимают крутящий момент от этой шестерни, поэтому мне приходилось строить уравнения с нуля. Вот что я придумала до сих пор:

Я начал с моделирования зубчатых колес в качестве рычагов и наблюдения за силой, которую они оказывали друг на друга. Two levers going opposite directions with forces and torques labeled

$$F_n=\frac{\tau_n}{r_n}\\ F_{net12}=F_1+F_2=\frac{\tau_1}{r_1}+\frac{\tau_2}{r_2}$$

Затем я перешел в крутящий момент и нашел угловое ускорение: $$\tau_{net_1}=F_{net12}*r_1,\ \tau_{net_2}=F_{net12} * r_2\\ \alpha_n=\frac{\tau_{net_n}}{m_n*r_n^2}\\ a_n=\alpha_n*r_n$$ (Я рассматриваю шестерни как совершенные диски для упрощения здесь)

Но если вы подставите в, $r_n$ в $\tau_n$ и $a_n$, то в $\alpha_n$ аннулируете, оставив вас только с $$a_n=\frac{F_{net12}}{m_n}$$

И, следовательно, уравнение для системы многих передач $$F_{net}=\sum_n \frac{\tau_n}{r_n}\\ a_0=a_1=a_2=\ ...\ =\frac{F_{net}}{\sum_n m_n}$$

У меня два вопроса:

Прежде всего, мой расчет верен? Кажется странным, что эволюция вращательной системы выражается только в линейных единицах. Но так как радиус каждой шестерни может быть разным, не может быть некоторого глобального суммарного крутящего момента, действующего на них всех одинаково, что означает, что имеет , чтобы быть глобальной суммарной силой.

Во-вторых, если это правильно, как я могу элегантно расширить эту модель до системы, которая допускает несколько передач на оси? И как я мог (желательно численно, а не логически или аналитически) проверять невозможные системы, такие как эта?

Ответы [ 2 ]

1 голос
/

Уравнение $\alpha = \frac {\tau}{m\,r^2}$ действительно только для точечного объекта или чего-то подобного обручу, где вся масса находится на одном и том же радиусе. Для чего-то вроде шестерни, где часть массы находится ближе к точке вращения, вы должны учитывать элементы массы, которые находятся на другом расстоянии.

Обычно его заменяют на $\alpha = \frac{\tau}{I}$, где $I$ - момент инерции диска. Поскольку разные механизмы могут иметь разные моменты инерции, вы не сможете так просто пропустить термин $r^2$.

Вы можете рассматривать каждую шестерню, касающуюся другой, и каждую шестерню, имеющую общий вал, как отдельное уравнение, и все они должны решаться одновременно. Если решения не существует (кроме $\omega = 0$), то вы не можете вращать передачи.

Когда шестерни зацеплены, линейные скорости на ободе равны и противоположны. $v_1 = -v_2$. Когда зубчатые колеса делят вал, то угловое вращение каждого равно. $\omega_1 = \omega_2$. Если вы установите это для своего невозможного набора, то вы обнаружите, что ненулевое вращение не будет решением.

0 голосов
/

Я думаю, что пойду дальше и сам отвечу на этот вопрос, потому что, думаю, я понял это, но мне было очень трудно найти ресурсы для вопросов, которые у меня были. Надеюсь, это поможет любому, кто делает подобную работу.

( В этом ответе я буду использовать эту систему в качестве примера. Я также буду игнорировать тот факт, что шестерни сменяют знак, просто чтобы сделать уравнения немного более понятными. )

Лемма 1: Все шестерни в поезде имеют одинаковые линейные значения (линейная скорость / ускорение, сила и т. Д.), В то время как все шестерни, имеющие общую ось, имеют одинаковые угловые значения (угловая скорость / ускорение, крутящий момент и т. д.).

Это означает, что для расчета полезной силы зубчатой ​​передачи вы просто складываете крутящие моменты, деленные на радиусы, а для расчета полезного крутящего момента на оси вы просто суммируете вносящие крутящие моменты и силы от каждой передачи, умноженные на их радиус. * * +1013

$$F_{NetAB}=\frac{\tau_a}{r_a}+\frac{\tau_{bc}}{r_b}\\ \tau_{NetBC}=\tau_{bc}+F_{AB}\cdot r_b+F_{DC}\cdot r_c$$

Чтобы получить сумму для всей системы, вы комбинируете два: умножение на радиус при каждом переключении с оси на поезд и деление на нее при каждом обратном переключении. Обратите внимание, что, поскольку мы рассматриваем как поезда, так и оси, крутящий момент и сила зависят от того, какую передачу вы выберете в качестве эталона (но результаты будут одинаковыми). С этого момента я буду использовать А.

$$F_{Net\ (A)}=\left(\left(\frac{\tau_g}{r_g}\right)r_e\frac{1}{r_d}+\frac{\tau_d}{r_d}\right)r_c\frac{1}{r_b}+\frac{\tau_{bc}}{r_b}+\frac{\tau_a}{r_a}$$

Чтобы найти ускорение системы, вы не можете просто разделить по массе, как указывает @BowlOfRed, вам нужно преобразовать в крутящий момент, а затем разделить на общий момент инерции.

$$a_A=\frac{\tau_{Net}}{I_{Net}}\cdot r_a=\frac{F_{Net}\cdot r_a^2}{I_{Net}}$$

Изначально это может показаться проблемой, потому что мы умножаем на $r_a^2$, а затем делим на постоянную, что означает, что две шестерни с разными радиусами в одном и том же поезде будут ускоряться (линейно) с разными скоростями. (Это ставило меня в тупик в течение долгого времени, и хотя я не осознавал, какое влияние это имело, было одной из причин, по которой я задал вопрос в первую очередь.) Но, как выясняется, $I$ - это не константа для каждого члена зубчатой ​​передачи. Если присмотреться к формуле:

$$I_{Net}=I_a + \left(\frac{r_a}{r_b}\right)^2\left(I_b+I_c+\left(\frac{r_c}{r_d}\right)^2\left(I_d+I_e+\left(\frac{r_e}{r_g}\right)^2\left(I_g\right)\right)\right)$$ (Источник)

Мало того, что $I$ изменяется не только в зависимости от референсного снаряжения, но и фактически пропорционально отсутствующему $r_a^2$! Два вышеуказанных фактора отменяются, линейное ускорение остается постоянным, а приведенная выше формула ускорения верна. После того, как вы выяснили ускорение эталонного зубчатого колеса, вы можете определить его для всех других зубчатых колес, используя простые соотношения и лемму 1.

Добро пожаловать на сайт физиков.нет, где вы можете задавать вопросы и получать ответы от других членов сообщества.
...