Разные определения спиноров - физиков.нет
Винтажный Клуб для гитаристов
3 голосов
/

Недавно я прочитал немного об описании частиц со спином в книге «Квантовая механика» Коэна-Танноуджи. Хотя я еще не полностью изучил предмет, я прочитал одну интересную часть, в которой автор рассматривает описание такой частицы, заданное пространством состояний $\mathcal{E}=\mathcal{E}_{S}\otimes \mathcal{E}_{\mathbf{r}}$, являющимся $\mathcal{E}_S$ пространством спиновых состояний, сгенерированным $\{|+\rangle, |-\rangle\}$ и $\mathcal{E}_{\mathbf{r}}$ обычное пространство состояний частицы без спина.

В этой настройке мы можем рассмотреть представление $\{|-\rangle\otimes| \mathbf{r}\rangle, |+\rangle\otimes |\mathbf{r}\rangle\}$. При этом, обозначая $|\mathbf{r}, -\rangle = |-\rangle\otimes| \mathbf{r}\rangle$ и $|\mathbf{r}, +\rangle =|+\rangle\otimes |\mathbf{r}\rangle$, мы находим, что если $|\varphi\rangle \in \mathcal{E}$, мы можем выразить это как

$$|\varphi\rangle = \int_{\mathbb{R}^3}(\varphi_-(\mathbf{r})|\mathbf{r}, -\rangle + \varphi_+(\mathbf{r})|\mathbf{r},+\rangle )d^3\mathbf{r}.$$

Затем автор заявляет следующее:

Чтобы полностью охарактеризовать состояние электрона, необходимо указать две функции пространственных переменных $x,y,z$:

$$\varphi_{+}(\mathbf{r})=\langle \mathbf{r}, + | \varphi \rangle$$ $$\varphi_{-}(\mathbf{r})=\langle \mathbf{r}, - | \varphi \rangle$$

Эти две функции часто записываются в виде двухкомпонентного спинора, который мы напишем $[\varphi](\mathbf{r})$:

$$[\varphi](\mathbf{r}) = \begin{pmatrix}\varphi_{+}(\mathbf{r}) \\ \varphi_{-}(\mathbf{r})\end{pmatrix}$$

Суть в том, что здесь кажется, что спинор - это просто элемент $L^2(\mathbb{R}^3)\times L^2(\mathbb{R}^3)$.

Теперь, некоторое время назад, прежде чем читать это, я попытался узнать, что такое спинор, и, глядя в Интернете, я нашел страницу Википедии , на которой много говорится. Я не мог найти в то время никакого прямого определения на странице.

На странице сказано много вещей, включая алгебры Клиффорда, спиновые группы и многое другое. Это сильно зависит от алгебр Клиффорда (хотя я знаю определение, у меня еще не было времени полностью его изучить), и ИМХО, оно не имеет непосредственного отношения к идее вращения, найденной в квантовой механике.

С другой стороны, идея спинора, предложенная Коэном, в тысячу раз яснее, проще и гораздо больше связана с идеей вращения. Я полагаю, что связь с вращениями можно сделать еще более ясной, поскольку операторы вращения являются генераторами вращений в $\mathbb{R}^3$, а элементы $|+\rangle$ и $|-\rangle$ являются его собственными векторами.

Мой вопрос здесь: какова связь между этими двумя точками зрения о спинорах? Какова связь между идеей Коэна о том, чтобы просто собрать эти функции вместе, и довольно сложной алгебраической конструкцией? Как мы можем соединить эти две точки зрения?

Ответы [ 2 ]

3 голосов
/

Вас немного смущает формулировка в Коэн-Танноуджи и др. А именно, это не функция $[\varphi]: \mathbf R^3 \to \mathbf R^2$, которая называется спинором, это ее значение в определенной точке, два числа $[\varphi](\mathbf r)\in\mathbf C^2$. Так что спинор - это даже не элемент $L^2(\mathbf R^3)\times L^2(\mathbf R^3)\equiv L^2(\mathbf R^3)\otimes\mathbf C^2$: это просто элемент $\mathbf C^2$! Это даже проще, чем вы думаете. Функция $[\varphi]$ тогда должным образом называется спиновой величиной волновой функции , в отличие от более распространенной скалярной волновой функции.

Однако в квантовой механике люди все еще часто называют эти объекты спинорами, а не спинорными волновыми функциями. Это короче и удобнее, но вы должны помнить, что это не более чем злоупотребление терминологией . В противном случае он укусит вас позже в теорию поля, где у вас будут спинорные поля - спиноры, заданные в каждой точке пространства (времени) - в том же смысле, что векторный потенциал $\mathbf A(\mathbf r)$ является векторным полем. Теория поля даже не должна быть квантом : классика подойдет.

Теперь, когда мы понимаем, что спинор - это два числа, почему вся математическая суета? Для этого есть веская причина. Это действительно два числа, но не просто два числа; думая об этом, как два числа не поможет вам понять, что происходит. Например, вектор - это три числа, но это не три числа, которые вы изображаете, когда говорите о векторах: это стрелки в (евклидовом) пространстве. Стрелки имеют смысл независимо от того, решите ли вы нарисовать систему координат в пространстве или нет. И, например, с каждой стрелкой связана длина, число, которое также имеет смысл независимо от любой системы координат, которую вы можете иметь или не иметь.

Но если у вас есть один, $K$, вы можете описать любой вектор тремя числами: например, $(x\;y\;z)$. Если у вас есть еще один $K'$, вы можете получить три разных номера $(x'\;y'\;z')$. Некоторые числа более равны, чем другие: * «длина $\mathbf v$» имеет смысл в отсутствие системы координат, а «$x$ координата $\mathbf v$» - нет. Однако, как только у вас есть координаты вектора в конкретной системе $K$, вы можете сказать, какими они будут в любых других $K'$, последовательно : то есть преобразовать из $K$ в $K'$, а затем с $K'$ до $K''$ - это то же самое, что и непосредственное преобразование с $K$ в $K''$. И преобразование является линейным.

Мы знаем причину этого, конечно: это просто стрелки в пространстве, поэтому последовательность очевидна. Однако предположим, что мы забыли о стрелках и сохранили только координаты. Тогда мы могли бы сделать вывод о существовании геометрических стрелок из того факта, что у нас есть эти правила алгебраического преобразования. Теперь обобщите и скажите, что любой согласованный набор правил определяет геометрический объект. (Сохраняйте линейность для удобства.) Какие еще объекты мы можем придумать? Что ж, шесть чисел $(x_1\;y_1\;z_1\;x_2\;y_2\;z_2)$ получены из любых двух векторов $\mathbf v_1$ и $\mathbf v_2$, но это довольно очевидно, поэтому мы хотели бы рассмотреть вещи, которые не построены из более простых , таких как тот. Вращение выглядит красиво: оно имеет геометрический смысл, и в то же время оно описывается (девятью) числами, удобно расположенными в матрице. (Он преобразуется как $A' = SAS^{-1}$, когда $v' = Sv$, конечно.) Оказывается, есть удобный способ говорить обо всех этих хороших объектах.

Какое это имеет отношение кквантовая механика? Все. Если состояние частицы в каждой точке $\mathbf r$ в пространстве описывается комплексным числом $\psi(\mathbf r)$, это число, конечно, не изменяется при преобразовании координат. Пространство Гильберта $\mathscr H = L^2(\mathbf R^3)$. Но что, если в каждой точке есть больше , чем одна "внутренняя" степень свободы? Скажите $2s+1$ из них? Затем $\mathscr H = L^2(\mathbf R^3)\otimes\mathscr I$ и появляется «внутреннее» пространство $\mathscr I =\mathbf C^{2s+1}$. Они имеют to (1) смешиваются друг с другом при преобразовании координат; в противном случае это просто несколько простых частиц, а не одна сложная. Смешайте (2) последовательно, (3) линейно, и (4) норма волновой функции не изменится. Вот, пожалуйста, неприводимое (1) унитарное (4) линейное (3) представление (2) группы вращений $\mathrm{SO}(3)$ на $\mathscr I$. Теория представлений говорит вам, что есть одно такое представление для $s = 0, 1, 2,\ldots$ и т. Д., Но не для $s=1/2$! Где спиноры?

Оказывается, мы упустили тонкий, но критический момент. Вы вдруг не отнимаете свои топоры и не кладете их по-другому: вы меняете их непрерывно . Внутренние степени свободы $\mathscr I$ должны трансформироваться определенным образом с учетом процесса вращения, а не только его «конечных точек». Но если я деформирую этот процесс , сохраняя конечные точки фиксированными, результат лучше оставить прежним. Теперь можно ли преобразовать все процессы вращения с фиксированными конечными точками друг в друга? Если да , то мы ничего не получили. Но оказывается, что ответом является нет : ничего не делать - это то же самое, что дважды вращаться вокруг фиксированной оси, но не то же самое как вращение раз .

Почему дважды? Легко. Поверните (непрерывно) на 360 ° вокруг рассматриваемой оси, а затем на 360 ° вокруг оси, указывающей в противоположном направлении: это явно идентичность. Поверните на 360 ° вокруг данной оси, а затем снова на 360 ° вокруг нее: это поворот на 720 °. Но эти два процесса могут деформироваться друг в друга, перемещая ось второго вращения на 360 °!

В разговоре о процессах настоятельно предлагается картина интегрирования вдоль «кривой в пространстве вращения». Соответствующей математикой является теория алгебр Ли . И что вам нужно, это не представление группы $\mathrm{SO}(3)$ «больших» вращений, а представление алгебры $\mathfrak{so}(3)$ «бесконечно малых». [ Это - это то, что физики имеют в виду, когда говорят о «(бесконечно малых) генераторах группы».] И, как мы видели, их еще больше . Точнее, кроме тех, у которых $s = 0,1,2,\ldots$, вы также получаете один для каждого из $s = 1/2,3/2,\ldots$. Также оказывается, что операторы (сохраняемого) момента импульса тесно связаны с алгеброй Ли связанной симметрии *1123* - о поворотах, о которой мы говорили все время.

В релятивистской теории релевантной симметрией является большая алгебра Лоренца $\mathfrak{so}(3,1)$, поэтому релятивистские спиноры имеют четыре компонента, как и четыре вектора. В одиннадцати измерениях векторы имеют одиннадцать компонентов, а спиноры имеют тридцать два . Так что они не всегда «меньше».

Наконец, теперь, когда мы восстановили спиноры, чточто с алгебрами Клиффорда и спиновыми группами? Помните два неэквивалентных процесса вращения между каждой парой конечных точек в $\mathrm{SO}(3)$? Оказывается, что всегда есть два из них в $\mathrm{SO}(n)$ для $n\ge 3$, поэтому мы можем посмотреть на , как эти процессы составляют по модулю эквивалентности . (Чтобы составить два процесса, выполните первый, а затем второй.) Результат (для $n\geq 3$ и аналогично для групп Лоренца) точно равен $\mathrm{Spin}(n)$. Мне не известна простая мотивация & dagger; для связи с алгебрами Клиффорда [правки приветствуются!], Но вы попадете туда, как только поймете картину алгебры Ли. Сами алгебры Клиффорда на самом деле являются довольно простыми объектами, и их легко можно мотивировать, взяв квадратный корень из лапласиана ; просто не понятно, почему вы получаете спиноры таким образом.

* Скотный двор , конечно.
& dagger; Если говорить точнее, я не знаю, почему квадратичные элементы алгебры Клиффорда образуют представление соответствующей ортогональной алгебры. Помимо «просто посчитайте это», то есть.

0 голосов
/

Вы можете записать свою спиновую волновую функцию как: $$\Psi: L^2(\mathbb R^3)\rightarrow \mathbb C^2.$$

Однако такая форма не может четко отражать действие при вращении. Например, вы выбрали конкретную основу, чтобы написать это так.

Если вместо этого вы начали с алгебры Клиффорда, то ваши точки уже могли быть векторами, а ваше поле могло бы быть скалярным, векторным или даже многовекторным (принимать значения, являющиеся любым многовектором или любым элементом алгебры Клиффорда).

Почему это преимущество. Когда вы говорите, как вы делаете что-то из ваших частей, и вы знаете, что делают ваши части, тогда вы делаете то, что делаете.

Так что, если у вас есть эталонный бивектор, такой как $e_1e_2$ для двух ортогональных пространственноподобных векторов $e_1$ и $e_2$, тогда ваш спинор может быть многовектором, который увеличивает и вращает эту эталонную плоскоподобную плоскость, чтобы описать любую плоскость в любой космической гиперплоскости .

Таким образом, ваш спинор может быть произведением векторов в 4d пространстве-времени, четным числом векторов, которые непрерывно связаны друг с другом. Потому что это вращения. И ключ к этому в том, что поскольку вы строите спинор из векторов посредством умножения, вы точно знаете, как он действует.

Добро пожаловать на сайт физиков.нет, где вы можете задавать вопросы и получать ответы от других членов сообщества.
...