Зависимость матрицы плотности от времени - физиков.нет
Купить гитару в Москве
1 голос
/

Мне было дано упражнение для расчета временной зависимости матрицы плотности 2x2 кубита. У меня есть матрица плотности в момент времени $t=0$ и гамильтониан $H=AI+BY$, где I - единичная матрица, Y - матрица Паули, а A, B - постоянные.

Я начал с описания матрицы плотности в форме $\rho= (1/2)I+a(t)X+b(t)Y+c(t)Z=\begin{pmatrix}1/2+c(t) & a(t)-ib(t)\\a(t)+ib(t) &1/2-c(t)\end{pmatrix}$, поэтому я могу написать четыре уравнения для каждого элемента в дифференциальной форме $i\hbar \dot{\rho_i}=H\rho$ или, поскольку гамильтониан не зависит от времени, $\rho_i(t)=exp(-i(t-t_0)H/\hbar)\rho_i(t_0)$. Я не уверен, что это правильный способ сделать это? Я застрял здесь, потому что, когда я пытаюсь вычислить элемент матрицы плотности, у меня есть коэффициент плюс действительное число в левой части уравнения и экспоненциальная матрица справа, которая также является матрицей.

Ответы [ 2 ]

0 голосов
/

В случае матрицы плотности можно начать с решения уравнения Гейзенберга, заданного как $\frac{d\rho(t)}{dt}=-i[\rho,H]+\frac{\partial \rho}{\partial t}$, где $[]$ - коммутатор между $\rho$ и $H$. Для общего случая зависимости от времени уравнение может быть решено численно с использованием метода Рунге-Кутты. Для особых случаев зависимости от времени унитарный оператор $U(t)$ может быть выражен как $U(t)=\exp[-iHt]$, а эволюция матрицы плотности может быть получена как $\rho(t)=U(t)\rho(0)U^{\dagger}$, где $\rho(0)$ - матрица плотности при $t=0$.

0 голосов
/

В случае не зависящего от времени гамильтонова, правильное выражение для матрицы плотности, эволюционирующей во времени, равно $\rho(t) \, = \, U(t,t0) \, \rho(t0) \, U^{\dagger}(t,t0))$ с $U(t,t0) \, = \, \exp[ - i (t-t0)H/\hbar]$. Так что в принципе вам просто нужно написать анзац для $\rho(t0)$, а затем вычислить это произведение матриц.

Поскольку $I$ и $Y$ коммутируют, вы можете вычислить $\exp[ - i (t-t0)(A I + B Y)/\hbar]$ как произведение $\exp[ - i (t-t0)A I/\hbar] \, \exp[ - i (t-t0)B Y/\hbar]$.

Добро пожаловать на сайт физиков.нет, где вы можете задавать вопросы и получать ответы от других членов сообщества.
...