Связь между лагранжианом и тензором энергии напряжений в общей теории относительности - физиков.нет
Винтажный Клуб для гитаристов
1 голос
/

В Общей теории относительности, с учетом лагранжиана $L$, который описывает вещество или излучение, Тензор энергии напряжения связан со следующим $$T_{uv}=-2\frac{\partial (L\sqrt g)}{\partial g_{uv}}\frac{1}{\sqrt g}.$$ Каковы предположения по этой формуле? Я нуждаюсь в них, потому что хотел бы знать, существует ли общая процедура, которая, учитывая тензор энергии стресса и минимальный набор предположений, возвращает соответствующий лагранжиан.

1 Ответ

1 голос
/

Действие Эйнштейна-Гильберта имеет скалярную плотность Лагранжа, пропорциональную $R-2\Lambda$, с $R$ скаляром Риччи и $\Lambda$ космологической постоянной. Ваша формула для $T_{\mu\nu}$ - это выбранное определение, поэтому оно будет пропорционально $$\frac{\delta S}{\delta g_{\mu\nu}}=R_{\mu\nu}-\frac{R}{2}g_{\mu\nu}+\Lambda g_{\mu\nu}$$ (обратите внимание, что эта функциональная производная, конечно, должна быть тензором ранга $2$, даже до того, как мы его оценим). Доказательство этого результата довольно сложное из-за сложной зависимости $R_{\mu\nu\rho\sigma},\,R_{\mu\nu},\,R,\,\sqrt{\left| g\right|}$ от $g_{\mu\nu}$ вариации. Однако основная предпосылка заключается в том, что мы изменяем скалярную плотность $\mathcal{L}\sqrt{\left| g\right|}$ относительно тензора $g_{\mu\nu}$ (обратите внимание, что мы не можем вывести фактор $\sqrt{\left| g\right|}$ за пределы дифференцирования, как это обычно бывает при получении уравнений поля искривленного пространства-времени) , давая тензорную плотность, которая должна быть разделена на $\sqrt{\left| g\right|}$, чтобы получить истинный тензор. Из доказательства вы увидите, что $T_{\mu\nu}$ можно получить из сектора материи действия (т. Е. Всего, кроме Эйнштейна-Гильберта); сравнение этого результата с вышеупомянутым вычислением затем дает нам уравнение поля.

Добро пожаловать на сайт физиков.нет, где вы можете задавать вопросы и получать ответы от других членов сообщества.
...