Нахождение коммутатора между компонентами оператора спина в представлениях Шредингера и Гейзенберга - физиков.нет
Купить гитару в Москве
1 голос
/

У меня есть гамильтониан

$$H = a(t) \cdot (S_z) ^2$$

, где $H$ и $S_z$ - операторы, $S_z$ - $z$ -компонент оператора вращения.

Я пытаюсь показать, что коммутаторы для спиновых операторов друг с другом и с гамильтонианом одинаковы в представлениях Гейзенберга и Шредингера.

Для некоторого оператора $A,$ обозначить представление Гейзенберга через индекс $h$ и представление Шредингера через индекс $s$

Тогда $$A_h = U^\dagger A_s U$$

где $U$ - унитарный оператор эволюции.

Я сейчас работаю над коммутатором $[S_{x_h},~ S_{y_h}]$, который свелся к

$$[S_{x_h} ,~ S_{y_h}] = i \cdot h \cdot U^\dagger S_{z_s} U$$

Я немного озадачен тем, как поступить.

1 Ответ

1 голос
/

У вас нет доказанного имущества, которое вы уже хотите доказать? По определению операторов Гейзенберга, которое вы предоставили, уравнение, которое вы записали, непосредственно подразумевает $ \left [ S_{x_h}, S_{y_h} \right ] = i \hbar S_{z_h} $, что вам и нужно.

Поскольку я, вероятно, неправильно понимаю вашу работу, вот моя. Общим свойством операторов является то, что коммутационные соотношения, которые имеют место в картине Шредингера, также имеют место в картине Гейзенберга.
Доказательство: Если $ A_s $ и $ B_s $ - это любые два оператора на изображении Шредингера (в вашем случае оператор Спина или гамильтониан) такие, что $ \left [ A_s, B_s \right ] = C_s $, то $ \left [ A_h, B_h \right ] = C_h $. Чтобы увидеть это:

\ {начать выравнивать} \ left [A_h, B_h \ right] & = A_h B_h - B_h A_h \\ & = U ^ {\ dagger} A_s U U ^ {\ dagger} B_s U - U ^ {\ dagger} B_s U U ^ {\ dagger} A_s U \\ & = U ^ {\ dagger} A_s B_s U - U ^ {\ dagger} B_s A_s U \\ & = U ^ {\ dagger} \ left [A_s, B_s \ right] U \\ & = U ^ {\ dagger} C_s U = C_h \ Конец {} выравнивание

где я использовал свойство $ U $ унитарное и поэтому $ U^{\dagger} U = U^{-1} U = \mathbb{1} $.
Это доказательство также работает в обратном порядке, чтобы показать обратное. Возьмите всех операторов, с которыми вы имеете дело, и вставьте их в это доказательство, и вы получите его.

Добро пожаловать на сайт физиков.нет, где вы можете задавать вопросы и получать ответы от других членов сообщества.
...