Является ли $\phi^4$ теория в 4d конформно-инвариантной на классическом уровне? - физиков.нет
Купить гитару в Москве
8 голосов
/

Раньше я считал, что три следующих утверждения верны (только на классическом уровне) :

  1. Из масштабной инвариантности следует полная конформная инвариантность.

  2. Масштабная инвариантность присутствует, если в лагранжиане нет размерных параметров.

  3. Тензор энергии-импульса для масштабной или конформно-инвариантной теории не имеет следов.

Однако, глядя на конкретный пример теории $\phi^4$ в 4d, я начинаю сомневаться. Лагранжиан, конечно, $$\mathcal{L}=\frac12(\partial \phi)^2-g \phi^4,\quad S=\int d^4x \mathcal{L}$$

В 4d поле $\phi$ имеет массовое измерение 1, а $g$ - безразмерное. Теория является масштабно-инвариантной (если при $x'=\lambda x$ поле преобразуется как $\phi'(x')=\lambda^{-1}\phi(x)$), в соответствии с утверждением (2).

Однако мне кажется, что теория не является инвариантной относительно инверсий (я не буду беспокоить вас своими неудачными попытками здесь) и ее тензор энергии-импульса $$T_{\mu\nu}=\partial_\mu\phi\partial_\nu\phi-\delta_{\mu\nu}\left(\frac12(\partial\phi)^2-g\phi^4\right)$$ не бесследно $$T^\mu_\mu=(1-d/2)(\partial\phi)^2+dg\phi^4.$$

  • Мой вопрос: какие из утверждений (1,2,3) на самом деле верны и как все это работает на примере теории $\phi^4$?

Еще раз подчеркиваю, что здесь меня интересуют только классические аспекты.

Ответы [ 2 ]

2 голосов
/

(1) не соответствует действительности. Типичными контрпримерами являются теория Максвелла в размерности $d \neq 4$ или теория упругости в 2 измерениях . Смотрите также другой ответ.

(3) тоже не совсем верно. Правильным утверждением является то, что теория инвариантна относительно масштабных преобразований, если $$ T^\mu_\mu = \partial_\mu K^\mu $$ для некоторого оператора $K^\mu$ (ток вириала, упомянутый в другом ответе), и он инвариантен относительно специальных конформных преобразований, если $$ T^\mu_\mu = \partial_\mu \partial_\nu L^{\mu\nu} $$ для некоторых $L^{\mu\nu}$. Это хорошо объясняется в статье Полчинского . Эквивалентно, если $T^{\mu\nu}$ удовлетворяет вышеуказанному условию, его можно «улучшить», добавив термин, который не влияет на его свойство сохранения, но отменит след.

Явно, в вашем примере канонический тензор энергии-импульса $$ T_c^{\mu\nu} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu \phi)} \partial^\nu \phi - \eta^{\mu\nu} \mathcal{L} = \partial^\mu \phi \partial^\nu \phi - \frac{1}{2} \eta^{\mu\nu} \partial_\rho \phi \partial^\rho \phi + g \eta^{\mu\nu} \phi^4 $$ и улучшенный тензор энергии-импульса \begin{align} T^{\mu\nu} &= T_c^{\mu\nu} - \frac{d-2}{4(d-1)} (\partial^\mu \partial^\nu - \eta^{\mu\nu} \square) \phi^2 \\ &= \frac{1}{2(d-1)} \left[ d \partial^\mu \phi \partial^\nu \phi - \eta^{\mu\nu} \partial_\rho \phi \partial^\rho \phi - (d-2) \phi \partial^\mu \partial^\nu \phi + (d-2) \eta^{\mu\nu} \phi \square \phi \right] + g \eta^{\mu\nu} \phi^4 \end{align} Оба тензора удовлетворяют свойству сохранения $\partial_\nu T^{\mu\nu} = \partial_\nu T^{\mu\nu}_c = 0$ при наложении уравнения движения $$ \square \phi + 4 g \phi^3 = 0 $$ Но теперь вы можете проверить, что след улучшенного тензора энергии-импульса $$ T^\mu_\mu = \frac{d-2}{2} \phi \square \phi + d g \phi^4 $$ также исчезает по уравнению движения в $d = 4$.

(примечание: это слегка отредактированный дубликат моего ответа на другой вопрос )

2 голосов
/

(2) и (3) соответствуют действительности.(1) не известен вообще (для унитарных теорий).

Это верно для 2d (я помню, как видел статью о похожем результате для 3d, но я не могу его найти), что масштабная инвариантность и унитарность подразумевают конформную инвариантность.В общих измерениях это верно только тогда, когда Virial $$V^\mu=\frac{\delta L}{\delta(\partial^\rho \phi)}(\eta^{\mu\rho}\Delta+i S^{\mu\rho})\phi$$ можно записать как дивергенцию $$V^\mu=\partial_\alpha \sigma^{\alpha\mu}$$ Если это так, тогда вы можете придумать модификацию тензора напряжений, чтобы $$T^\mu_\mu=\partial_\mu j^\mu_D$$, где $j_D$ былоТок дилатации.Тогда масштабная инвариантность подразумевает конформную инвариантность.См. Раздел 4.2.2 книги ДиФранческо, чтобы увидеть полный вывод.По сути, если вы можете изменить тензор энергии-импульса, чтобы сделать его бесследным, таким образом, чтобы вы не испортили ни его сохранение, ни тождество Уорда, то теория будет конформна (3).

В вашемНапример, вы можете вычислить Virial и посмотреть, можно ли его записать как расхождение с чем-то другим, если вам это удастся, тогда оно действительно конформно.

Дальнейшее чтение относительно новых разработок в области масштабной инвариантности $\Rightarrow$ conformalинвариантность:

http://arxiv.org/abs/1309.2921

http://arxiv.org/abs/1402.6322

http://arxiv.org/abs/1505.01152

Добро пожаловать на сайт физиков.нет, где вы можете задавать вопросы и получать ответы от других членов сообщества.
...