Что означает электростатическая собственная энергия? - физиков.нет
Купить гитару в Москве
1 голос
/

Вопрос под рукой:

"Предположим, что энергия массы покоя $mc^2$ электрона равна его электростатической собственной энергии и что заряд электрона равномерно распределен внутри сферы радиуса R. Каково значение R (в единице метр)? "

Мой вопрос: что такое электростатическая собственная энергия? Будет ли это эквивалентно интегрированию $kQ/r$ по объему сферы?

1 Ответ

7 голосов
/

Что такое электростатическая собственная энергия?

Собственная энергия частицы означает энергию, которой обладают взаимодействия между частицей и системой, частью которой она является. В электростатике собственная энергия конкретного распределения заряда - это энергия, необходимая для сборки зарядов из бесконечности в эту конкретную конфигурацию, без ускорения зарядов . Это просто называется электростатической потенциальной энергией, хранящейся в системе зарядов.

Для простого примера рассмотрим электростатическое поле $\vec{E}$ из-за некоторого заряда $q$. Нам нужно знать электростатическую энергию, запасенную в системе зарядов $q$ и какой-то другой заряд $Q$. Затем предположим, что мы начинаем с бесконечности (где электрическое поле из-за заряда $q$ равно нулю). Чтобы собрать заряд $Q$ из бесконечности в точку на расстоянии $r$ от заряда $q$, нам нужно провести работу с электрическим полем $\vec{E}$.

Мы имеем для электростатических полей $\vec{E}=-\nabla V$, где $V$ - скалярная функция, называемая электрическим потенциалом. Заряд $Q$ в любой точке в электрическом поле $q$ испытывает силу $\vec{F}=Q\vec{E}$, и против этой силы нужно работать, чтобы собрать заряды в требуемой конфигурации. Следовательно, работа сделана

$$ \begin{align} W=-\int_\infty^r \vec{F}\cdot d\vec{r} &=-Q\int_\infty^r \vec{E}\cdot d\vec{r}\\ &=-Q\int_\infty^r (-\nabla V)\cdot d\vec{r}\\ &=-Q\int_\infty^r dV\\ &=Q[V(r)-V(\infty)] \end{align} $$

Предполагая $V(\infty)=0$, у нас есть работа

$$ \bbox[5px,border:2px solid green] { W=QV(r) \qquad(1) } $$ Эта проделанная работа сохраняется как потенциальная энергия системы зарядов . Мы можем распространить результат на любое количество расходов и на любую конфигурацию. Например, мы можем найти электростатическую собственную энергию или энергию, необходимую для сборки системы из четырех зарядов по углам квадрата.

Мы знаем, что электрический потенциал $V$ является потенциальной энергией на единицу заряда, а электрический потенциал на некотором расстоянии $r$ от заряда $q$ равен

$$V(r)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q}{r}\qquad(2)$$

Следовательно, уравнение $(1)$ становится

$$ \bbox[5px,border:2px solid red] { W=\frac{1}{4\pi\epsilon_o}\frac{qQ}{r} \qquad(3) } $$

Это электростатическая собственная энергия конфигурации.

Уравнение $(3)$ можно обобщить на систему из $N$ точечных зарядов $q_i$, расположенных в векторах положения $r_i$ ($i=1,2,...,N$):

$$ \bbox[5px,border:2px solid blue] { W=\frac{1}{2}\frac{1}{4\pi\epsilon_o}\sum_{i=1}^N\sum_{j\neq i=1}^N\frac{q_iq_j}{r_{ij}} \qquad(4) } $$

, где $r_{ij}$ - это разделение между $r_i$ и $r_j$

Было бы это эквивалентно интегрированию $kQ/r$ по объему сферы?

По определению, электростатическая собственная энергия в этом случае будет работой, выполняемой при непрерывной сборке электронов по всему объему сферы радиуса $R$. Нам нужно найти электрический потенциал на поверхности сферы (то есть на $r=R$). Поскольку у нас здесь непрерывная система зарядов, мы должны заменить суммирование в уравнении $(4)$ интегрированием. Но это не эквивалентно интеграции $kQ/r$ по объему сферы. Мы собираемся сделать следующее:

Мы строим сферу, добавляя последующие бесконечно малые слои заряда (переносимые с бесконечного расстояния). Из теоремы Гаусса мы знаем, что для однородно заряженной сферы, имеющей плотность заряда $\rho$, радиус $r$ и полный заряд $q=q(r)=\rho(4\pi r^3/3)$, поле и потенциал вне сферы являются точечным зарядом $q$, расположенным в центр. При построении сферы мы строим бесконечно малые слои заряда размером $dq=\rho4\pi r^2dr$, тем самым увеличивая радиус сферы от $0$ до $R$. Следовательно, полная энергия равна (из уравнения ($1$))

$$ \begin{align} W=\int V(r)dQ&=\int_0^R k\frac{q(r)}{r}\rho 4\pi r^2dr\\ &=k\int_0^R\frac{\rho}{r} \left(\frac{4}{3}\pi r^3\right)4\pi r^2dr\\ &=\frac{4\pi\rho^2R^5}{15\epsilon_0}\\ &=\frac{3k}{5}\frac{Q^2}{R} \end{align} $$

где мы заменили $\rho=Q/(4\pi R^3/3)$. Таким образом, электростатическая собственная энергия в вашей проблеме равна

$$ \bbox[5px,border:2px solid pink] { W=\frac{3k}{5}\frac{Q^2}{R}\qquad(5) } $$

, где $Q$ - общий заряд, заключенный в сферу. Уравнение ($5$) дает энергию, запасенную в системе зарядов, которая собирается непрерывно по всему сферическому объему радиуса $R$. Все, что мы использовали, это просто уравнение ($1$).

Добро пожаловать на сайт физиков.нет, где вы можете задавать вопросы и получать ответы от других членов сообщества.
...