Как рассчитать энергию основного состояния свободного фермиона с нулевой температурой по функции Грина? - физиков.нет
Купить гитару в Москве
1 голос
/

Мы можем использовать $Galitskii-Migdal$ формула: $$E=-\frac{1}{2}i\frac{V}{(2\pi)^4} \lim\limits_{\nu \to 0^+ } \int d^3k\int_{-\infty}^{\infty} d\omega e^{i\omega \nu} (\frac{\hbar^2 k^2}{2m}+\hbar\omega)\,tr\,G(\mathbf{k},\omega)$$ для бесплатного фермиона: $$G^0_{\alpha\beta}(\mathbf{k},\omega)=\delta_{\alpha\beta}[\frac{\theta(k-k_F)}{\omega-\omega_k+i\eta}+\frac{\theta(k_F-k)}{\omega-\omega_k-i\eta}]$$ и $\omega_k=\frac{\hbar k^2}{2m}$, индексы $\alpha,\beta$ спин метки, $\nu=t'-t$, $\nu\gt0$, $k_F$ - волновой вектор ферми.

Во-первых, интегрировать $\omega$, $$\int_{-\infty}^{\infty} d\omega \, e^{i\omega\nu}(\omega_k+\omega)[\frac{\theta(k-k_F)}{\omega-\omega_k+i\eta}+\frac{\theta(k_F-k)}{\omega-\omega_k-i\eta}]\\=\int_{-\infty}^{\infty}d\omega \,e^{i\omega\nu}[\theta(k-k_F)(1+\frac{2\omega_k-i\eta}{\omega-\omega_k+i\eta})+\theta(k_F-k)(1+\frac{2\omega_k+i\eta}{\omega-\omega_k-i\eta})]$$ таким образом, есть 2 дельта-функции, и оставшиеся 2 члена могут быть вычислены по теореме вычетов, оставив в стороне эти 2 дельта-функции на данный момент, вышеуказанный интеграл становится (потому что $\nu\gt0$): $$2\pi i\, \theta(k_F-k)\,(2\omega_k+i\eta)\,e^{i(\omega_k+i\eta)\nu}$$ Теперь энергия основного состояния становится: $$E=-\frac{1}{2} i \frac{V}{(2\pi)^4}(2s+1) \hbar\, 2\pi i\,\lim\limits_{\nu \to 0^+ } e^{-\eta\nu}\int d^3k \, \theta(k_F-k) \,(2\omega_k+i\eta)e^{i\omega_k \nu}$$ может быть, я могу установить $\eta=0$ и интегрировать полярный угол и угол азимута, тогда интеграл становится: $$4\pi\, \int_0^{k_F}2\omega_k\,k^2\,e^{i\omega_k\nu}\,dk$$ пусть $t^2=\omega_k=\frac{\hbar k^2}{2m}$, $$\int_0^{t_F} t^4 \cos{(t^2\nu)}dt\\=\frac{t_F^3\sin{(t_F^2\nu)}}{2\nu}+\frac{3t_F\cos{(t_F^2\nu)}}{4\nu^2}-\frac{3}{4\nu^2}\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{\nu^{2n}}{(2n)!}\frac{t_F^{4n+1}}{4n+1}$$ а также $$\int_0^{t_F} \,t^4\,\sin{(t^2\nu)}dt\\=-\frac{t_F^3\cos{(t_F^2\nu)}}{2\nu}+\frac{3t_F\sin{(t_F^2\nu)}}{4\nu^2}-\frac{3}{4\nu^2}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \frac{\nu^{2n+1}}{(2n+1)!}\frac{t_F^{4n+3}}{4n+3}$$

принять предел $\nu \to 0^+$, расходящиеся члены точно отменяются, энергия основного состояния становится: $$E=-\frac{1}{2}i\frac{V}{(2\pi)^4}(2s+1)\,\hbar\,2\pi i\,*4\pi\,*2*(\frac{2m}{\hbar})^{3/2}*(\frac{t_F^5}{2}-\frac{3t_F^5}{8}+\frac{3}{4}\frac{1}{2}\frac{t_F^5}{5})\\=\frac{V}{4\pi^2}(2s+1)(\frac{2m}{\hbar^2})^{3/2}\,2*\frac{1}{5}(\frac{\hbar^2k^2}{2m})^{5/2}$$ но из статистической механики мы знаем, что энергия $$E=V\,\frac{g}{4\pi^2}(\frac{2m}{\hbar^2})^{3/2}\,\frac{2}{5}\,\mu^{5/2}$$ $\mu$ - химический потенциал с нулевой температурой, $\mu=\frac{\hbar^2 k_F^2}{2m}$ они одинаковы.

! *******************!

Но есть две дельта-функции.

проблема: можно ли отбросить эти дельта-функции? $$\lim\limits_{\nu \to 0^+ }\int_{-\infty}^{\infty} e^{i\omega\nu}(\theta(k-k_F)+\theta(k_F-k))\,d\omega$$ ! *******************!


используя ту же стратегию, я могу получить правильное $N$: $$N=\int d^3x\langle \hat n(x)\rangle=-i\frac{V}{2\pi^4}\lim\limits_{\nu \to 0^+ }\int d^3k\int_{-\infty}^{\infty}d\omega\, e^{i\omega\nu}\,tr\,G(\mathbf{k},\omega)$$

$$N=(2s+1)\frac{V}{(2\pi)^3}\lim\limits_{\nu \to 0^+ }e^{-\eta\nu}\int d^3 k\,\theta(k_F-k)e^{i\omega_k\nu}$$ и $$\int_0^{t_F} t^2\,\cos{(t^2\nu)}dt\\=\frac{t_{F}\,\sin{(t_F^2\nu)}}{2\nu}-\frac{1}{2\nu}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \frac{\nu^{2n+1}}{(2n+1)!} \frac{t_F^{4n+3}}{4n+3}$$

$$\int_0^{t_F} t^2 \sin{(t^2\nu)} dt\\=-\frac{t_F\,\cos{(t_F^2\nu)}}{2\nu}+\frac{1}{2\nu}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \frac{\nu^{2n}}{(2n)!} \frac{t_F^{4n+1}}{4n+1}$$

итак, $$N=(2s+1)\frac{V}{4\pi^2}2\,(\frac{2m}{\hbar})^{3/2}*[\frac{t_F^3}{2}-\frac{1}{2}\frac{t_F^3}{3}]\\=(2s+1)\frac{V}{4\pi^2} (\frac{2m}{\hbar^2})^{3/2} \frac{2}{3}\mu^{3/2}$$ из статистической механики $N=V\frac{g}{4\pi^2}(\frac{2m}{\hbar^2})^{3/2}\,\frac{2}{3}\mu^{3/2}$, поэтому, используя функцию свободного фермиона Грина при нулевой температуре, я могу получить правильный номер частицы.

исх. {квантовая теория многочастичных систем} А. Л. Феттер и Дж. Д. Валецка

Добро пожаловать на сайт физиков.нет, где вы можете задавать вопросы и получать ответы от других членов сообщества.
...