Вычисление собственного значения и нормализованного собственного вектора из-за нескольких повернутых аппаратов Штерна-Герлаха - физиков.нет
Купить гитару в Москве
0 голосов
/

Предположим, что пучок частиц со спином 1/2 падает на аппарат Штерна-Герлаха. выровнен в направлении z, который делит луч на компоненты с квантовыми числами магнитного спина $m_s = 1/2$ Луч $m_s = 1/2$ падает на Стерна-Герлаха аппарат выровнен по направлению

$e_\theta = \begin{bmatrix} sin(\theta) \\ 0 \\ cos(\theta) \end{bmatrix} $

Здесь я предполагаю, что мы работаем на основе $\hat S_z$. Оператор спина $\hat S$ представлен $(\hbar /2)\sigma$, где $\sigma$ - обычный вектор матриц Паули

Как найти собственное значение и нормализованные собственные векторы $e_\theta\cdot \hat S $?

Первый препятствие, на которое я наткнулся, заключается в том, что я не уверен, как решить проблему взятия произведения матрицы $3\times1$ и $2\times2$. Также я прав, думая, что $\hat S$ в этом случае просто $\sigma_z$? Заранее спасибо.

1 Ответ

0 голосов
/

Это распространенная проблема, возникающая при первом знакомстве с этим, и вам нужно отделить различные типы появляющихся векторов. Существуют «классические» векторы $e_{\theta}$ и $\vec{S}$, которые имеют три компонента, соответствующие трем направлениям компонентов в пространстве позиций. Тогда есть векторы состояния , которые живут во внутреннем "спиновом" гильбертовом пространстве, и это векторы, связанные с матрицами Паули $\sigma_i$.

Чтобы быть в явном виде, вот как я бы записал вещи (исключая факторы 2 и $\hbar$ и тому подобное): $$\vec{S} = \hat{x}\sigma_x + \hat{y}\sigma_y + \hat{z}\sigma_z,$$ а также $$\vec{e}_\theta = \hat{x}\sin\theta + \hat{y}(0)+ \hat{z}\cos\theta.$$ Тогда скалярное произведение $\vec{e}_\theta\cdot\vec{S}$ интерпретируется как скалярное произведение векторов в реальном пространстве, и поэтому $$\vec{e}_\theta\cdot\vec{S} = \sigma_x\sin\theta + \sigma_y(0) + \sigma_x\cos\theta.$$ Эта последняя величина явно представляет собой матричное представление оператора спина 2 на 2. Вы можете посмотреть матричное представление операторов Паули, записанных в собственном базисе $S_z$, и, таким образом, вы можете получить матрицу, которую можно диагонализировать напрямую.

Добро пожаловать на сайт физиков.нет, где вы можете задавать вопросы и получать ответы от других членов сообщества.
...