Термин Черна-Саймонса: интегрирование Gapped фермионов в 2 + 1 измерениях, связанных с внешним калибровочным полем - физиков.нет
Винтажный Клуб для гитаристов
11 голосов
/

Предположим, у нас есть объем топологического изолятора в $2+1$ размерах, описываемый квадратичным гамильтонианом в операторах поля фермионов, а именно $$H=\sum_{i,j}\psi_i^{*} h_{ij}\psi_j$$ (гамильтониан регуляризован на решетке, здесь $i,j$ обозначает решетку и другие возможные степени свободы, $$\{\psi_i,\psi_j^{*}\}=\delta_{ij}$$, и мы также можем предполагать неизменность перевода). Если мы свяжем эту систему с внешним $\text{U}(1)$ калибровочным полем $A$ и рассмотрим эффективную теорию, возникающую в результате интегрирования по фермионным полям, а именно $$\int [D\psi][D\psi^{*}]\exp(iS(\psi,\psi^*,A))=\exp(iS_{\text{eff}}(A)),$$, то в длинноволновом пределе можно ожидать члена Черна-Саймонса, $\int A\wedge dA$, чтобы появиться в эффективном действии с коэффициентом, пропорциональным первому числу Черна занятого блоховского расслоения (а именно расслоения собственных пространств гамильтониана, записанного в импульсном пространстве). Это дает квантовый эффект Холла в двух измерениях, поскольку отклик дает квантованную холловскую проводимость.

Я вижу, как выглядит этот термин Черна-Саймонса, если связать массивный дираковский фермион в 2 + 1 измерениях с внешним калибровочным полем $\text{U}(1)$, а затем рассмотреть квадратичный член в разложении функционального определителя результирующего оператора Дирака , Но в предыдущем случае я точно не знаю, как к нему подойти, и мне было интересно, возможно ли это с помощью интегральных по путям методов.

1 Ответ

3 голосов
/

Я думаю, я понял это.

Мы ищем топологический отклик, поэтому достаточно взглянуть на отклик любой системы, описываемой гамильтонианом, адиабатически связанным с той, с которой мы начали. В частности, мы можем использовать один с плоским спектром: $H=\int\frac{d^2p}{(2\pi)^2}\psi^{*}(p) H(p)\psi(p)$, в котором соотношение $H(p)=U(p)\text{diag}(-I_{k},I_{n-k})U^{*}(p)$ выполняется локально. Здесь $k$ - число занятых полос, а $U(k)=[v_1(p),...,v_{n}(p)]$ - ортогональная матрица собственных векторов $H(p)$. В частности, матрица $k\times n$ $S(p)=[v_1(p),...,v_{k}(p)]$ локально описывает занятый пучок. Мы также можем написать $H(p)=P^{\perp}(p)-P(p)$, где $P(p)=S(p)S^{*}(p)$ - проектор на волокне занятого жгута над $p$. Кривизна расслоения может быть описана как эндоморфизм тривиального расслоения $\mathbb{T}^2\times \mathbb{C}^n$ выражением $\Omega=PdP\wedge dPP=dP\wedge P^{\perp}dP$. Позднее выражение будет полезно при вычислении эффективного действия. Идея состоит в том, что мы начинаем с $Z_0=\text{Det}(G_0^{-1})$, а затем выполняем минимальную связь с внешним калибровочным полем. В представлении фазового пространства ($(p,x)$ -представление) и в предположении, что внешнее калибровочное поле изменяется в масштабах, превышающих типичный масштаб системы, мы можем записать инверсию новой функции Грина как $G^{-1}(p,x)\approx G_0^{-1}(p) -e A_{\mu}(x)\partial G_0^{-1}/\partial p_ \mu(p)$. Написание $\Sigma(p,x)=-eA_{\mu}(x)\partial G_0^{-1}/\partial p_ \mu(p)$ у нас есть $\text{Det}(G^{-1})\approx Z_0\text{Det}(I+G_0\Sigma)$. Эффективное действие получается формальным расширением $\log(\text{Det}(I+G_0\Sigma))=\text{Tr}\log(I+G_0\Sigma)\approx \text{Tr}(G_0\Sigma)-\frac{1}{2}\text{Tr}(G_0\Sigma G_0\Sigma)$. Функция разбиения должна быть калибровочно-инвариантной, поэтому мы будем искать только такие члены. В $2+1$ измерениях, кроме термина Максвелла, нам разрешено иметь термин Черна-Саймонса $S_{CS}(A)=(1/4\pi)\int A\wedge dA$. Мы ищем квадратичные члены (следовательно, во втором члене разложения, написанного ранее), которые имеют $A_\mu(x)$ и $\partial_\mu A_\nu(x)$. Продукты, находящиеся под функциональной трассировкой, на самом деле являются свертками, и, когда мы выполняем преобразование в смешанное представление положения-импульса, мы получаем искаженное расширение продукта, а именно: произведение Мояла: $\int d^3x_2 A(x_1,x_2)B(x_2,x_3)\rightarrow A(p,x)B(p,x)+(i/2)\{A,B\}_{\text{PB}}(p,x)+...$, где $\{.,.\}_{\text{PB}}$ - скобка Пуассона. Первые два условия расширения нам достаточно. Если мы посмотрим на упомянутые термины, мы в конечном итоге с вкладом $(ie^{2}/2)(1/3!)(\int d^3p/(2\pi)^3 \text{tr} (G_0\partial G_0^{-1}/\partial p_\mu G_0\partial G_0^{-1}/\partial p_\nu G_0\partial G_0^{-1}/\partial p_\lambda) \varepsilon_{\mu\nu\lambda}) \int A\wedge dA$. Выполняя интеграл по частоте $p_0$, можно показать, что последний равен $2\pi i\sigma_{H} S_{CS}(A)$, с $\sigma_{H}=(e^{2}/2\pi)\times \int_{\mathbb{T}^2}\text{tr}(i\Omega/2\pi)\equiv (e^{2}/2\pi)\times c_1$ ($c_1$ обозначает первый номер Черна занятого пакета), как и ожидалось.

Добро пожаловать на сайт физиков.нет, где вы можете задавать вопросы и получать ответы от других членов сообщества.
...