Напряжение сдвига в подвешенной сфере в вязкоупругой жидкости - физиков.нет
Купить гитару в Москве
0 голосов
/

Сейчас я пытаюсь решить, что у меня есть магнитная частица (точнее, наночастица), плавающая в жидкости, которая является вязкоупругой и применяет синусоидальное магнитное поле. Приложенное магнитное поле создаст крутящий момент, который выравнивает магнитный момент частицы с полем. Кроме того, частица достаточно велика, чтобы ее можно было термически заблокировать, что означает, что при вращении частицы она будет физически вращать частицу, а не только внутренний магнитный момент.

Итак, когда частица вращается, она будет тянуться вдоль жидкости на поверхности, создавая напряжение сдвига.

На данный момент меня интересует максимальная сила, по которой частица увлекает жидкость, поэтому я буду считать, что внутренний магнитный момент и приложенное магнитное поле перпендикулярны друг другу.

The marnetic particle in viscoelastic medium with magnetic field

Моя цель - рассчитать напряжение сдвига, поэтому я начну с расчета силы. Предположим, что приложенный крутящий момент находится по оси + y, поэтому у нас есть силы только в направлении оси x и z. $\vec{F} = F_x\hat{a_x}+F_z\hat{a_z}$ и $\vec{r} = r_x\hat{a_x} + r_y\hat{a_y} + r_z\hat{a_z}$. И тогда я применяю $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$ и получаю $\vec{\tau} = -(r_xF_z - r_zF_x)\hat{a_y}$.

Разлагая компоненты и вычисляя только по оси Y, мы получаем

$$ \tau_y = -|\vec{r}|\cos{\theta}\cos{\phi}\cdot |\vec{F}|\cos{\theta} + |\vec{r}|\sin{\theta}\cdot |\vec{F}|\sin{\theta} $$

Интеграция от $\theta = -\frac{\pi}{2}$ до $\theta = \frac{\pi}{2}$ и от $\phi = 0$ до $\phi = 2\pi$,

$$\tau_y = |\vec{r}||\vec{F}|\int_{\theta = -\frac{\pi}{2}}^{\theta = \frac{\pi}{2}}\int_{\phi = 0}^{\phi = 2\pi} -\cos^2{\theta}\cos{\phi}\cdot + \sin{\theta}\cdot \sin{\theta} d\phi d\theta $$

Я получил это

$$\tau_y = |\vec{r}||\vec{F}|\pi^2$$

Теперь наступает момент, когда я застреваю, когда хочу применить $\sigma = G\gamma$ линейную зависимость (в действительности это не всегда так, но я хочу сначала проверить ее с линейным допущением), где $\sigma$ - напряжение сдвига, $\gamma$ - деформация сдвига, а $G$ - модуль сдвига.

Насколько я понимаю, напряжение сдвига $\frac{F}{A}$, но сила не постоянна, поэтому мне нужно рассчитать силу, действующую на бесконечно малую площадь поверхности $dA = r^2\sin{\theta}d\phi d\theta$. Однако я чувствую, что здесь что-то не так и не могу двигаться вперед. Я нашел результат $ d\sigma = \frac{F}{dA}$ очень странным и неправильным, но я понятия не имею, что лучше.

Я также приветствую другие решения или уравнения с более сложным или строгим подходом, если таковые имеются.

1 Ответ

0 голосов
/

Для чисто упругой сплошной задачи вы бы выразили крутящий момент как функцию углового смещения и модуля сдвига: $$\tau=kGa^3\Delta \theta$$ где a - радиус сферы, а k - безразмерная постоянная, возникающая из решения проблема механики твердого тела. Затем вы бы представили угловое смещение в виде: $$\Delta \theta=\frac{\tau}{kGa^3}=J\frac{\tau}{ka^3}$$, где J - соответствие сдвигу (= 1 / G). Для вязкоупругого материала податливость J при сдвиге является функцией времени J (t), а угловое смещение в момент времени t связано с историей изменения крутящего момента: $$\Delta \theta(t)=\frac{1}{ka^3}\int_{-\infty}^t{J(t-\xi)}\frac{d\tau}{d\xi}d\xi$$ Я оставляю на ваше усмотрение выяснить, как это работает для случая, когда крутящий момент синусоидально изменяется.

Добро пожаловать на сайт физиков.нет, где вы можете задавать вопросы и получать ответы от других членов сообщества.
...