Значение «угловой частоты» пружины, которая ведет себя как простой гармонический осциллятор - физиков.нет
Винтажный Клуб для гитаристов
0 голосов
/

В модели простого гармонического осциллятора мы говорим об угловой частоте, и я понимаю, что это говорит о мгновенной угловой скорости объекта. Например, простой маятник. Но что это значит, когда мы применяем эту концепцию к объекту, прикрепленному к пружине, которая ведет себя как простой гармонический генератор? Для объекта не существует мгновенного кругового движения, так как мы можем связать угловую частоту с такой системой?

Ответы [ 3 ]

3 голосов
/

Основное уравнение для простого гармонического осциллятора: $\frac{d^2x}{dt^2} =- \omega^2 x$. Одно из решений, которое работает здесь - $x=x_0 e^{i\omega t}$. Обратите внимание, что комплексное сопряжение $x^* = x_0^* e^{-i\omega t}$ также является допустимым решением. Причина этого заключается в том, что, хотя тело может колебаться в одномерном движении, его можно рассматривать как движение по часовой стрелке или против часовой стрелки по кругу в комплексной плоскости, где его угловая скорость равна либо $i\omega$ против часовой стрелки, либо * 1005. * по часовой стрелке.

2 голосов
/

Angular velocity

Представьте себе точку $P$, вращающуюся по кругу с центральной точкой $O$. Если скорость вращения постоянна, то мы называем $\omega$ угловую скорость (она же угловая частота $^*$):

$$\omega=\frac{d\theta}{dt}$$

Если мы спроецируем точки $O$ и $P$ на ось $y$, то $^{**}$:

$$|O'P'|=y=|OP|\sin\theta=R\sin \omega t$$

, где $R$ - радиус круга (то есть, $|OP|$). $P'$ выполняет гармоническое колебание около $O'$ (точка, в которой $y=0$).

Другие типы гармонических осцилляторов имеют общее уравнение движения Ньютона:

$$u''(t)+\omega^2 u(t)=0$$

, что приводит к кинематическому уравнению того же типа. По аналогии мы также называем $\omega$ угловой скоростью, даже если не происходит начальное круговое движение (и его проекция). $u$ может быть любым колеблющимся значением (положение, давление, электрический потенциал и т. Д.).

$^*$ Строго говоря, термин угловая частота должен быть зарезервирован для $\omega=2\pi f$, с $f$ угловой частотой или частотой для краткости.

$^{**}$ Мы также предполагаем, что при $t=0$, $P'$ совпадает с $O'$, чтобы избежать введения фазового угла (для простоты).

1 голос
/

В некотором роде все начинается с недостатка букв в английском и греческом алфавите.
В данном случае это использование омега $\omega$ для двух совершенно разных вещей - угловой скорости / скорости и угловой частоты.

Тело, ускорение которого направлено к точке и пропорционально расстоянию от этой точки, называется простым гармоническим движением и в виде уравнения, которое часто записывается как $\ddot a=-\omega^2 x$.
Константа пропорциональности $- \omega^2$ выбирается так, чтобы она всегда была отрицательной.

Когда такое движение анализируется, обнаруживается, что движение является периодическим с периодом $T$.
Другой способ заявить об этом - сказать, что частота движения равна $f = \frac 1 T$.

Таким образом, вы можете написать уравнение для движения как что-то вроде $x = x_o \sin (\frac{2 \pi}{T}t)$ или $x = x_o \sin (2 \pi f t)$

Это можно рассматривать как довольно громоздкий способ написания уравнения, так почему бы не ввести параметр omega с $\omega = \frac{2 \pi}{T}$ или $\omega = 2 \pi f$.

Теперь эта омега имеет единицы радиан в секунду, в то время как частота, $f$, имеет единицы $s^{-1}$ или герц, но это что-то, считаемое в единицу времени, и что-то есть угол в радианах.
Таким образом, чтобы отличить его от частоты, это называется угловой частотой.

Таким образом, ваша система пружинных масс испытывает линейное колебательное движение, но параметр, используемый для описания движения вашей системы пружинных масс, измеряется в радианах, что является мерой угла.

Во вращательном движении используется параметр угловой скорости, который представляет собой скорость изменения угла во времени и часто символ omega $\omega$, используемый для этого параметра, хотя многие авторы в настоящее время используют $\Omega$ для дифференциальной угловой скорости. скорость от угловой частоты, которые измеряются в радианах в секунду.

Эта неоднозначность того, что означает $\omega$, усугубляется, когда простое гармоническое движение сравнивается с проекцией положения объекта, совершающего круговое движение, на диаметр.
Так уж получилось, что для этого примера численно $\omega = \Omega$.

Я полагаю, что если бы использовались два разных символа, $\omega$ для угловой частоты и $\Omega$ для угловой скорости, то не было бы этой путаницы в отношении системы масса-пружина, которая одновременно подвергается вертикальным колебаниям. также думал, что будет ходить по кругу.

Добро пожаловать на сайт физиков.нет, где вы можете задавать вопросы и получать ответы от других членов сообщества.
...