Расстояние, пройденное струей воды - физиков.нет
Винтажный Клуб для гитаристов
2 голосов
/

Я помогал своему ребенку в проекте научной ярмарки, где мы пробивали отверстия в бутылке с водой на разной высоте, а затем измеряли расстояние, пройденное водяными струями, прежде чем они упали на землю. Экспериментальное наблюдение состоит в том, что график расстояния, пройденного до высоты отверстия, «кажется» параболическим с максимальным расстоянием, пройденным почти «центральной» струей. Я хочу получить теоретическое объяснение этому.

Вот два ответа с использованием обозначений: $H$ = верхняя поверхность воды, $h$ = высота струи, $d$ = расстояние, пройденное струей

  1. $Pressure = \rho g (H-h)$, усилие на каплю области $A$ и объема $V$ равно $F=\rho g (H-h) A$. Предполагая, что эта сила действует в течение некоторого единичного времени t, скорость на выходе из отверстия составляет $S=g (H-h) At/V$. Так как время падения на каплю составляет $\sqrt {2h/g}$. Расстояние, пройденное каплей, составляет $d=g (H-h) At/V \sqrt {2h/g}$, максимум - $h = H/3$
  2. Используя уравнение Бернулли, $P+\frac{1}{2}\rho S^2+\rho gh=const$, предполагая, что скорость на верхней поверхности ничтожна, $\frac{1}{2}\rho S^2=\rho g(H-h)$, поэтому $S=\sqrt {2g(H-h)}$. Время падения на капельку составляет $\sqrt {2h/g}$. Расстояние, пройденное каплей, составляет $d=\sqrt {2g(H-h)} \sqrt {2h/g}$, максимальное - $h = H/2$.

На мой взгляд, первое верно, так как игнорирование скорости верхней поверхности воды некорректно. Можете ли вы помочь мне понять, какой правильный подход.

Примечание: подобный вопрос задавался ранее, и все они, похоже, выбрали второй подход. Кроме того, я использовал $S$ для скорости, как я использовал $V$ для объема капли

Ответы [ 3 ]

1 голос
/

Экспериментальное наблюдение состоит в том, что график пройденного расстояния до высота отверстия "появляется" параболическая

Это не «параболический», это квадратный корень параболы (как вы показали ниже): $$ d=2\sqrt{Hh-h^2}\;. $$ Это всего лишь семантика, но это хорошо, чтобы понять это правильно; парабола имеет только степени 0,1 и 2, например, $ax^2+bx+c$, а не квадратные корни ...

Вот два ответа с использованием обозначений: $H$ = верхняя поверхность воды, $h$ = высота струи, $d$ = расстояние, пройденное струей

  1. $Pressure = \rho g (H-h)$, сила на каплю области $A$ и объем $V$ равна $F=\rho g (H-h) A$. Предполагая, что эта сила действует для некоторых единичное время t, скорость на выходе из отверстия $S=g (H-h) At/V$. Со временем падение для капельки составляет $\sqrt {2h/g}$. Расстояние, пройденное капля $d=g (H-h) At/V \sqrt {2h/g}$, максимум наступает при $h = H/3$
  2. Используя уравнение Бернулли, $P+\frac{1}{2}\rho S^2+\rho gh$, предполагая, что скорость на верхней поверхности ничтожна, $\frac{1}{2}\rho S^2=\rho g(H-h)$, поэтому $S=\sqrt {2g(H-h)}$. Со временем влюбиться в капелька $\sqrt {2h/g}$. Расстояние, пройденное каплей, составляет $d=\sqrt{2g(H-h)} \sqrt {2h/g}$, максимальное - $h = H/2$.

На мой взгляд, первый правильный, так как игнорирует скорость вершины поверхность воды неверна. Можете ли вы помочь мне понять, что является правильный подход.

Игнорирование скорости на верхней поверхности воды является правильным, если размер выточенных отверстий намного меньше, чем площадь поперечного сечения воды наверху. Кроме того, как показано ниже, игнорирование скорости верхней поверхности воды не влияет на ваш расчет наилучшей высоты $h=H/2$. (Кроме того, вы также игнорируете кучу других вещей, которые, кажется, вас не беспокоят. Например, вы также игнорируете разницу в атмосферном давлении на высоте верхней поверхности H и атмосферном давлении снаружи на дырка у ч ...)

Где в своем первом "ответе" вы не игнорировали скорость наверху? Если бы вы не проигнорировали скорость воды наверху, в вашем выводе было бы место, где отношение площади верхней поверхности к площади отверстия вошло в уравнение ... чего не происходит. Вы по-прежнему игнорировали максимальную скорость, вы только что выполнили неудачную работу по повторному выводу уравнения Бернулли, поэтому вы получите неправильный ответ.

Уравнение Бернулли гласит:

$$ \rho g z_1 + \frac{1}{2}\rho g v_1^2 + P_1 = \rho g z_2 + \frac{1}{2}\rho g v_2^2 + P_2\;, $$ и игнорирование скорости верхней поверхности составляет установку: $z_1=H$, $v_1=0$, $P_1=P_{atm}$, $z_2=h$, $v_2=S$, $P_2=P_{atm}$, таким образом $$ \rho h H=\rho g h + \frac{1}{2}\rho S^2 $$

Не игнорирование скорости на верхней поверхности равносильно настройке: $z_1=H$, $v_1=S_{top}$, $P_1=P_{atm}$, $z_2=h$, $v_2=S$, $P_2=P_{atm}$, таким образом $$ \rho h H+\frac{1}{2}\rho S_{top}^2=\rho g h + \frac{1}{2}\rho S^2\;, $$ и для несжимаемой жидкости $$ S_{top}=S\frac{a_{hole}}{a_{top}}\;. $$ Итак, если вы хотите, вы можете принять во внимание скорость на вершине, заменив $$ S^2 \to S^2(1-\frac{a_{hold}^2}{a_{top}^2})\;, $$ но вы должны знать площадь отверстия и площадь верхней поверхности.

Кроме того, приведенная выше поправка явно не меняет форму зависимости $h$, поэтому максимум по-прежнему отображается на $h=H/2$. Т.е. диапазон сейчас $$ d=2\sqrt{\frac{\rho(Hh-h^2)}{1-\frac{a_{hole}^2}{a_{top}^2}}}\;, $$ который все еще максимизируется на $h=H/2$

1 голос
/

Первый подход неверен, потому что вы идентифицируете время, когда объем воды ускоряется полной силой тяжести, и время, которое потребуется для того, чтобы упасть на это расстояние. Если бы это было так, он бы видел меньшее ускорение, потому что эффект плунжера уменьшил бы давление, которое он видит сверху до нуля.

Второй подход дает вам правильное уравнение для скорости, хотя я нахожу ваше представление любопытным. $P_h = P_\mathrm{top} + \rho g (H-h)$ - это давление в отверстии (или, скорее, разница с давлением окружающего воздуха), и скорость, с которой вода должна двигаться или ускоряется до нулевой скорости, может затем действительно рассчитываться по уравнению Бернулли, потому что динамическое давление $\Delta P = \frac{1}{2} \rho v^2$ также правильно описывает эффект плунжера, разницу давления в прямом / обратном направлении (и это не совпадение, поэтому отождествление этого с законом Бернулли для противоположного изменения давления, перпендикулярного потоку, хорошо, по крайней мере, на мой взгляд). Оба ваших подхода, похоже, предполагают, что струя выбрасывается горизонтально (что, вероятно, верно, но я думаю, что это следует указывать в случае, если кто-то делает наклонную дыру неправильно). Я не проверил вашу максимизацию, только то, что уравнения, которые вы используете для нее, выглядят корректно, предполагая, что $S$ - ваша скорость (другие могут предпочесть или ожидать, что она будет записана как $v=|\vec{v}|$ или $\dot{x}$).

0 голосов
/

Я действительно пробовал это для начального урока физики, пробивая отверстия в галлоновом пластиковом контейнере, в котором площадь верха контейнера A, составляла около 23 000 мм ^ 2, а площадь Небольшое отверстие A ' составляло около 1 мм ^ 2 по уравнению неразрывности, т.е. Av = A'v' говорит о том, что скорость воды на верхней поверхности V , почти ничтожно по сравнению со скоростью, выходящей из маленького отверстия, v '.

Уравнение Бернулли, казалось, было первым выбором (однако, как показал мой эксперимент и я прокомментирую ниже, возможно, Навье Стоукс мог бы быть лучшим выбором) Уравнение Бернулли с незаполненными величинами на верхней поверхности воды и загрунтованными величинами на небольшом выходном отверстии имеет вид

                          **P+(1/2)ρv^2+ρgh=P'+(1/2)ρv'^2+ρgh'**

Если нет завихренности, вода закручивается вокруг дренажа, и, поскольку существует небольшая разница в атмосферном давлении P = P ' и v = 0 и если высота измеряется от h ', то скорость вне отверстия должна составлять √2gh.

эту скорость можно проверить, если выходное отверстие находится на высоте H от пола и поток достигает горизонтального расстояния, x , от проекции отверстия. по уравнению

                                      **v'=x√g/√2H**

Когда я действительно проводил этот эксперимент, измеренная непосредственно горизонтальная скорость составляла лишь половину рассчитанной Бернулли скорости. Я заметил, что вода, казалось, кружилась, то есть завихренность, предполагая, что лечение Навье-Стокса могло бы объяснить это. Я обнаружил, что нет общего решения уравнения Навье-Стокса, и был получен выигрыш в миллион долларов за его решение. Я не решил и решил заняться чем-то другим.

Добро пожаловать на сайт физиков.нет, где вы можете задавать вопросы и получать ответы от других членов сообщества.
...